View source for পরিসর (পরিসংখ্যান)

[[বর্ণনামূলক পরিসংখ্যান|বর্ণনামূলক পরিসংখ্যানে]], ডেটার একটি সেটের '''পরিসর''' (range) হলো ক্ষুদ্রতম [[interval (statistics)|ব্যবধি]] বা ইন্টারভ্যালের আকার বা প্রস্থ, যার মধ্যে সমস্ত ডেটা অন্তর্ভুক্ত থাকে। এটি বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানের (যাকে [[sample maximum and minimum]]-ও বলা হয়) মধ্যে পার্থক্য হিসেবে গণনা করা হয়।<ref>George Woodbury. (2001). "An Introduction to Statistics". 74. Cengage Learning. ISBN 0534377556.</ref> এটি ডেটার মতোই একই [[units (physics)|এককে]] প্রকাশ করা হয়।

পরিসর [[statistical dispersion|পরিসংখ্যানগত বিচ্ছুরণ]]-এর একটি নির্দেশক প্রদান করে। পরিসরের [[Robust (statistics)|দৃঢ়]] পরিমাপের মধ্যে রয়েছে [[interdecile range]] এবং [[interquartile range]]।

== অবিচ্ছিন্ন IID দৈব চলকের পরিসর ==

''n'' সংখ্যক [[independent and identically distributed random variables|স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক]] ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>-এর জন্য, যাদের [[cumulative distribution function]] G(''x'') এবং [[probability density function]] g(''x''), ধরি T তাদের পরিসর নির্দেশ করে, অর্থাৎ T= max(''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>)-min(''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>)।

=== বিন্যাস ===

পরিসর, T-এর কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন হলো<ref name="gumbel">E. J. Gumbel. (1947). "The Distribution of the Range". ''The Annals of Mathematical Statistics''. 18 (3) 384–412. doi:[https://doi.org/10.1214/aoms/1177730387 10.1214/aoms/1177730387].</ref><ref name="tsimashenka">(2012). [https://www.doc.ic.ac.uk/~wjk/publications/tsimashenka-knottenbelt-harrison-asmta-2012.pdf Analytical and Stochastic Modeling Techniques and Applications]. 7314 165. ISBN 978-3-642-30781-2. doi:[https://doi.org/10.1007/978-3-642-30782-9_12 10.1007/978-3-642-30782-9_12].</ref>
::<math>F(t)= n \int_{-\infty}^\infty g(x)[G(x+t)-G(x)]^{n-1} \, \text{d}x.</math>
[[Emil Julius Gumbel|গাম্বেল]] উল্লেখ করেছেন যে, "এই সূত্রের সৌন্দর্য সম্পূর্ণরূপে নষ্ট হয়ে যায় এই সত্যের কারণে যে, সাধারণত আমরা ''G''(''x''&nbsp;+&nbsp;''t'')-কে ''G''(''x'') দ্বারা প্রকাশ করতে পারি না এবং সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেশন দীর্ঘ ও ক্লান্তিকর।"<ref name="gumbel" />

যদি প্রতিটি ''X''<sub>''i''</sub>-এর বিন্যাস ডানদিকে (বা বামদিকে) সীমাবদ্ধ থাকে, তবে পরিসরের অসীমতটীয় বিন্যাস বৃহত্তম (ক্ষুদ্রতম) মানের অসীমতটীয় বিন্যাসের সমান হয়। আরও সাধারণ বিন্যাসের জন্য অসীমতটীয় বিন্যাসকে একটি [[Bessel function]] হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে।<ref name="gumbel" />

=== মোমেন্টস ===

গড় পরিসর নিম্নরূপ:<ref>(1954). "Universal Bounds for Mean Range and Extreme Observation". ''The Annals of Mathematical Statistics''. 25 (1) 85–99. doi:[https://doi.org/10.1214/aoms/1177728848 10.1214/aoms/1177728848].</ref>
::<math>n \int_0^1 x(G)[G^{n-1}-(1-G)^{n-1}] \,\text{d}G</math>
যেখানে ''x''(''G'') হলো বিপরীত ফাংশন। যদি প্রতিটি ''X''<sub>''i''</sub>-এর একটি [[standard normal distribution]] থাকে, তবে গড় পরিসর হলো<ref>L. H. C. Tippett. (1925). "On the Extreme Individuals and the Range of Samples Taken from a Normal Population". ''Biometrika''. 17 (3/4) 364–387. doi:[https://doi.org/10.1093/biomet/17.3-4.364 10.1093/biomet/17.3-4.364].</ref>
::<math display="block">\int_{-\infty}^\infty (1-(1-\Phi(x))^n-\Phi(x)^n ) \,\text{d}x.</math>

=== বিন্যাসের প্রতিপাদন ===

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে, নিচে ফলাফলটির একটি অনানুষ্ঠানিক প্রতিপাদন দেওয়া হলো। এটি সম্ভাব্যতা গণনার ক্ষেত্রে কিছুটা শিথিল।

ধরি <math>m, M</math> যথাক্রমে দৈব চলক <math>X_1 \dots X_n</math>-এর সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ মান নির্দেশ করে।

পরিসর <math>T</math>-এর চেয়ে ছোট হওয়ার ঘটনাটিকে নিচের ছোট ছোট ঘটনায় বিভক্ত করা যেতে পারে:

* সর্বনিম্ন মানের সূচক
* এবং সর্বনিম্ন মানের মান <math>x</math>।

একটি নির্দিষ্ট সূচক <math>i</math> এবং সর্বনিম্ন মান <math>x</math>-এর জন্য, যৌথ ঘটনার সম্ভাবনা:

# <math>X_i</math> হলো সর্বনিম্ন,
# এবং <math>X_i=x</math>,
# এবং পরিসর <math>T</math>-এর চেয়ে ছোট,

হলো:<math display="block">
g(x) \left[ G(x+T) - G(x) \right]^{n-1}
</math>সূচকগুলোর ওপর যোগফল এবং <math>x</math>-এর ওপর ইন্টিগ্রেশন করলে ঘটনার মোট সম্ভাবনা পাওয়া যায়: "পরিসর <math>T</math>-এর চেয়ে ছোট", যা পরিসরের কিউমুলেটিভ ডেন্সিটি ফাংশন:<math display="block">
F(t) = n \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \left[G(t+x)-G(x) \right]^{n-1} \, \text{d}x
</math>যা প্রমাণটি সম্পন্ন করে।

== অন্যান্য মডেলে পরিসর ==

অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকসহ IID ক্ষেত্রের বাইরে, অন্যান্য ক্ষেত্রে স্পষ্ট সূত্র রয়েছে। এই ক্ষেত্রগুলো প্রান্তিক আগ্রহের।

* অ-IID অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক।<ref name="tsimashenka" />
* <math>\mathbb N</math>-এ সমর্থিত বিচ্ছিন্ন চলক।<ref name="evans">(2006). "The Distribution of Order Statistics for Discrete Random Variables with Applications to Bootstrapping". ''INFORMS Journal on Computing''. 18 19–30. doi:[https://doi.org/10.1287/ijoc.1040.0105 10.1287/ijoc.1040.0105].</ref><ref>Irving W. Burr. (1955). "Calculation of Exact Sampling Distribution of Ranges from a Discrete Population". ''The Annals of Mathematical Statistics''. 26 (3) 530–532. doi:[https://doi.org/10.1214/aoms/1177728500 10.1214/aoms/1177728500].</ref> বিচ্ছিন্ন চলকের জন্য একটি প্রধান অসুবিধা হলো পরিসরটি বিচ্ছিন্ন। এটি সূত্রের প্রতিপাদনের জন্য [[combinatorics]] বা বিন্যাস ও সমাবেশের প্রয়োজন করে।

== সম্পর্কিত রাশি ==
পরিসর হলো [[order statistic]]-এর একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ। বিশেষ করে, পরিসর হলো অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকসের একটি রৈখিক ফাংশন, যা একে [[L-estimator|L-estimation]]-এর আওতায় নিয়ে আসে।

== আরও দেখুন ==

*[[Interdecile range]]
*[[Interquartile range]]
*[[Studentized range]]

== তথ্যসূত্র ==
<references />

descriptive

{{DEFAULTSORT:Range (Statistics)}}
[[Category:Statistical deviation and dispersion]]
[[Category:Scale statistics]]
[[Category:Summary statistics]]

----
''উৎস:'' ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Range (statistics)” নিবন্ধের অনুবাদ।
''মূল নিবন্ধ:'' https://en.wikipedia.org/wiki/Range_(statistics)
''এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।''