View source for এল-মোমেন্ট

[[পরিসংখ্যান]]-এ, '''এল-মোমেন্ট''' (L-moments) হলো একগুচ্ছ পরিসংখ্যান, যা কোনো [[সম্ভাব্যতা বিন্যাস]]-এর আকৃতি সারসংক্ষেপ করতে ব্যবহৃত হয়।<ref name="hos:90">Hosking, J.R.M.. (1990). "L-moments: analysis and estimation of distributions using linear combinations of order statistics". ''Journal of the Royal Statistical Society, Series B''. 52 (1) 105&ndash;124. doi:[https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1990.tb01775.x 10.1111/j.2517-6161.1990.tb01775.x].</ref><ref name="hos:92">Hosking, J.R.M.. (1992). "Moments or L moments? An example comparing two measures of distributional shape". ''The American Statistician''. 46 (3) 186&ndash;189. doi:[https://doi.org/10.2307/2685210 10.2307/2685210].</ref><ref name="hos:96">Hosking, J.R.M.. (2006). "On the characterization of distributions by their L-moments". ''Journal of Statistical Planning and Inference''. 136 193&ndash;198. doi:[https://doi.org/10.1016/j.jspi.2004.06.004 10.1016/j.jspi.2004.06.004].</ref><ref>Asquith, W.H. (2011) ''Distributional analysis with L-moment statistics using the R environment for statistical computing'', Create Space Independent Publishing Platform, [print-on-demand], 1-463-50841-7</ref> এগুলো হলো [[অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকস]]-এর ([[এল-স্ট্যাটিস্টিকস]]) [[রৈখিক সমাবেশ]], যা প্রচলিত [[মোমেন্ট (গণিত)|মোমেন্ট]]-এর অনুরূপ। এগুলোকে [[মানক বিচ্যুতি]], [[স্কিউনেস]] এবং [[কার্টোসিস]]-এর অনুরূপ রাশি গণনার জন্য ব্যবহার করা যায়, যেগুলোকে যথাক্রমে এল-স্কেল, এল-স্কিউনেস এবং এল-কার্টোসিস বলা হয় (এল-মিন প্রচলিত [[গড়]]-এর সমান)। মানককৃত এল-মোমেন্টগুলোকে '''এল-মোমেন্ট অনুপাত''' বলা হয় এবং এগুলো [[মানককৃত মোমেন্ট]]-এর অনুরূপ। প্রচলিত মোমেন্টের মতোই, একটি তাত্ত্বিক বিন্যাসের পপুলেশন এল-মোমেন্টের একটি সেট থাকে। পপুলেশন থেকে নেওয়া নমুনার জন্য স্যাম্পল এল-মোমেন্ট সংজ্ঞায়িত করা যায় এবং এগুলোকে পপুলেশন এল-মোমেন্টের প্রাক্কলক হিসেবে ব্যবহার করা যায়।

==পপুলেশন এল-মোমেন্ট==
একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল X-এর জন্য, r-তম পপুলেশন এল-মোমেন্ট হলো<ref name=hos:90/>

<math display="block">
\lambda_r = \frac{1}{r} \sum_{k=0}^{r-1} (-1)^k \binom{r-1}{k} \operatorname{\mathbb{E}} [ X_{r-k:r}] \, ,
</math>

যেখানে X<sub>k:n</sub> দ্বারা X-এর বিন্যাস থেকে নেওয়া n আকারের একটি [[স্বাধীন]] [[পরিসংখ্যানগত নমুনা|নমুনা]]-র k-তম [[অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকস]] (k-তম ক্ষুদ্রতম মান) বোঝায় এবং <math> \mathbb{E} </math> দ্বারা [[প্রত্যাশিত মান]] [[অপারেটর (গণিত)|অপারেটর]] বোঝায়। বিশেষত, প্রথম চারটি পপুলেশন এল-মোমেন্ট হলো:

<math display="block">\begin{align}
\lambda_1 &= \operatorname{\mathbb E}[X] \\[4pt]
\lambda_2 &= \tfrac{1}{2} \left( \operatorname{\mathbb E}[ X_{2:2} ] -   \operatorname{\mathbb E}[ X_{1:2} ] \right) \\[4pt]
\lambda_3 &= \tfrac{1}{3} \left( \operatorname{\mathbb E}[ X_{3:3} ] - 2 \operatorname{\mathbb E}[ X_{2:3} ] +   \operatorname{\mathbb E}[ X_{1:3} ] \right) \\[4pt]
\lambda_4 &= \tfrac{1}{4} \left( \operatorname{\mathbb E}[ X_{4:4} ] - 3 \operatorname{\mathbb E}[ X_{3:4} ] + 3 \operatorname{\mathbb E}[ X_{2:4} ] - \operatorname{\mathbb E}[ X_{1:4} ] \right) .
\end{align}</math>

লক্ষ্য করুন যে, r-তম এল-মোমেন্টের সহগগুলো [[দ্বিপদী রূপান্তর]]-এর r-তম পদের মতোই, যা r-ক্রমের [[সসীম পার্থক্য]]-এ (অন্তরকলনের সসীম প্রতিরূপ) ব্যবহৃত হয়।

এই এল-মোমেন্টগুলোর প্রথম দুটির প্রচলিত নাম রয়েছে:
* <math> \lambda_1 </math> হলো "গড়", "এল-মিন" বা "এল-লোকেশন",
* <math> \lambda_2 </math> হলো "এল-স্কেল"।
এল-স্কেল হলো [[গড় পরম পার্থক্য]]-এর অর্ধেক।<ref name=jones:02/>

===বিশ্লেষণাত্মক গণনা===
প্রত্যাশিত মানগুলো প্রায়শই [[সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন]]-এর মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়, কিন্তু অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকস <math> X_{r:n} </math> এবং তাদের অন্তর্নিহিত র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল <math> X </math>-এর মধ্যে সম্পর্কটি বেশ দূরবর্তী। [[কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন]] (CDF)-এর মাধ্যমে একটি ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক পাওয়া যেতে পারে, কারণ এগুলো (দেখুন [[Order_statistic#Cumulative_distribution_function_of_order_statistics|এই অনুচ্ছেদ]]) সন্তুষ্ট করে:
<math display="block">F_{X_{r:n}}(x) = \sum_{j=r}^n \binom{n}{j} F_X(x)^j \bigl( 1 - F_X(x) \bigr)^{n-j} .</math>
বিশেষত, কেউ <math> b_{r:n}(y) = \sum_{j=r}^n \binom{n}{j} y^j (1-y)^{n-j} </math> বহুপদী সংজ্ঞায়িত করতে পারে এবং <math> F_{X_{r:n}} = b_{r:n} \circ F_X </math> হিসেবে প্রকাশ করতে পারে।

একটি CDF <math> F_X </math> থাকলে, প্রত্যাশিত মান <math> \mathbb{E}\{X\} </math>-কে একটি [[স্টিলজেস ইন্টিগ্রাল]] হিসেবে প্রকাশ করা যায়:
<math display="block"> \mathbb{E}\{X\} = \int_{\mathbb{R}} x \, dF_X(x) ,</math>
সুতরাং
<math display="block">
  \mathbb{E}\{X_{r:n}\} =
  \int_{\mathbb{R}} x \, d(b_{r:n} \circ F_X)(x) =
  \int_{\mathbb{R}} x b_{r:n}'\bigl( F_X(x) \bigr) \, dF_X(x)
</math>
যেখানে <math> b_{r:n}' </math> হলো <math> b_{r:n} </math>-এর অন্তরজ। এই ইন্টিগ্রালটিকে প্রায়শই [[কোয়ান্টাইল ফাংশন]] <math> Q_X </math> প্রবর্তনের মাধ্যমে আরও সহজ করা যায়, [[চলক পরিবর্তন]] <math> y = F_X(x), x = Q_X(y) </math> ব্যবহার করে:
<math display="block">
  \mathbb{E}\{X_{r:n}\} =
  \int_{\mathbb{R}} x b_{r:n}'\bigl( F_X(x) \bigr) \, dF_X(x) =
  \int_0^1 Q_X(y) b_{r:n}'(y) \, dy.
</math>
যেহেতু এল-মোমেন্টগুলো এই ধরনের প্রত্যাশিত মানের রৈখিক সমাবেশ, তাই সংশ্লিষ্ট ইন্টিগ্রালগুলোকে প্রতিটি মোমেন্টের জন্য একটিতে একত্রিত করা যায়, যেখানে ইন্টিগ্র্যান্ড হলো <math> Q_X(y) </math> এবং একটি বহুপদীর গুণফল। আমাদের আছে<ref name="hos:90"/>
<math display="block">
  \lambda_n = \int_0^1 Q_X(y) \widetilde{P}_{n-1}(y) \, dy
</math>
যেখানে
<math display="block">
  \widetilde{P}_m(y) = \sum_{k=0}^m (-1)^{m-k} \binom{m}{k} \binom{m+k}{k} y^k
</math>
হলো [[শিফটেড লেজেন্ডার পলিনোমিয়াল]], যা 0,1 ব্যবধিতে অর্থোগোনাল।

বিশেষত
<math display="block">\begin{align}
  \lambda_1 &= \int_0^1 Q_X(y) \, dy, \\[2pt]
  \lambda_2 &= \int_0^1 Q_X(y) \left(2 y - 1\right) dy, \\[2pt]
  \lambda_3 &= \int_0^1 Q_X(y) \left(6 y^2 - 6 y + 1\right) dy, \\[2pt]
  \lambda_4 &= \int_0^1 Q_X(y) \left(20 y^3 - 30 y^2 + 12 y - 1\right) dy.
\end{align}</math>

===সিলিটোর উপপাদ্য===
<math> \lambda_n </math>-এর জন্য উপরের ইন্টিগ্রাল সূত্রটি একটি [[সাধারণীকৃত ফুরিয়ার সিরিজ|সাধারণীকৃত ফুরিয়ার সহগ]]-এর রূপ ধারণ করে এবং মোমেন্ট হিসেবে নামকরণ করার কয়েক বছর আগে থেকেই সাহিত্যে এগুলো এভাবে উপস্থিত ছিল। এই নিবন্ধের নোটেশনে, সিলিটো<ref>(1969). "Derivation of approximants to the inverse distribution function of a continuous univariate population from the order statistics of a sample". ''Biometrika''. 56 (3) 641–650. doi:[https://doi.org/10.1093/biomet/56.3.641 10.1093/biomet/56.3.641].</ref> প্রমাণ করেছেন:

ধরি <math> X </math> একটি বাস্তব-মান বিশিষ্ট অবিচ্ছিন্ন র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল যার সসীম ভেদাঙ্ক, কোয়ান্টাইল ফাংশন <math> Q_X(y) </math> এবং এল-মোমেন্ট <math> \{ \lambda_r \}_{r=1}^\infty </math> রয়েছে। তাহলে <math display="block"> Q_X(y) = \sum_{r=1}^\infty (2r-1) \lambda_r \widetilde{P}_{r-1}(y) \qquad \text{for } 0 < y < 1 </math> উপস্থাপনাটি [[Lp space| <math> L^2 </math> নর্মে অভিসারী]]।

যাইহোক, হোসকিং<ref name="hos:90"/> সতর্ক করেছেন যে এই সিরিজের [[আংশিক সমষ্টি]] বিন্যাসের প্রান্তগুলোর (tails) জন্য দুর্বল আসন্ন মান প্রদান করে এবং এগুলো একঘেয়ে (monotonic) হওয়ার প্রয়োজন নেই। <math> X </math>-এর [[কিউমুলে্যান্ট]]-এর পরিপ্রেক্ষিতে <math> Q_X </math>-এর [[কর্নিশ-ফিশার এক্সপ্যানশন]]-এর ক্ষেত্রেও একই ধরনের সমস্যা দেখা দেয়।

==স্যাম্পল এল-মোমেন্ট==
স্যাম্পল এল-মোমেন্টগুলোকে নমুনার পপুলেশন এল-মোমেন্ট হিসেবে গণনা করা যায়, নমুনার ''r''-উপাদান বিশিষ্ট উপসেটগুলোর ওপর যোগফল নির্ণয় করে <math>\left\{ x_1 < \cdots < x_j < \cdots < x_r \right\},</math> এবং তাই [[দ্বিপদী সহগ]] দ্বারা ভাগ করে গড় নির্ণয় করা হয়:
<math display="block">
\lambda_r = \frac{1}{ r\cdot\tbinom{n}{r} }\, \sum_{x_1 < \cdots < x_j < \cdots < x_r} (-1)^{r-j} \binom{r-1}{j}\, x_j \,.
</math>

এগুলোকে অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকস গণনা অনুযায়ী গ্রুপ করলে দেখা যায় যে একটি n উপাদান বিশিষ্ট নমুনার একটি উপাদান কতভাবে একটি r উপাদান বিশিষ্ট উপসেটের j-তম উপাদান হতে পারে, এবং নিচের ফর্মুলাগুলো পাওয়া যায়। n পর্যবেক্ষণের একটি সসীম নমুনার প্রথম চারটি এল-মোমেন্টের জন্য সরাসরি প্রাক্কলক হলো:<ref name=wang:96> Wang, Q.J.. (1996). "Direct sample estimators of L-moments". ''Water Resources Research''. 32 (12) 3617–3619. doi:[https://doi.org/10.1029/96WR02675 10.1029/96WR02675].
</ref>

<math display="block">\begin{align}
  \ell_1 &= \frac{1}{  \tbinom{n}{1} } \sum_{i=1}^n x_{(i)} \\[1ex]
  \ell_2 &= \frac{1}{ 2\tbinom{n}{2} } \sum_{i=1}^n \left[ \tbinom{i-1}{1} - \tbinom{n-i}{1} \right] x_{(i)} \\[1ex]
  \ell_3 &= \frac{1}{ 3\tbinom{n}{3} } \sum_{i=1}^n \left[ \tbinom{i-1}{2} - 2\tbinom{i-1}{1}\tbinom{n-i}{1} + \tbinom{n-i}{2} \right] x_{(i)} \\[1ex]
  \ell_4 &= \frac{1}{ 4\tbinom{n}{4} } \sum_{i=1}^n \left[ \tbinom{i-1}{3} - 3\tbinom{i-1}{2}\tbinom{n-i}{1} + 3\tbinom{i-1}{1}\tbinom{n-i}{2} - \tbinom{n-i}{3} \right] x_{(i)}
\end{align} </math>

যেখানে ''x''<sub>(''i'')</sub> হলো i-তম [[অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকস]] এবং <math> \tbinom{\boldsymbol\cdot}{\boldsymbol\cdot} </math> হলো একটি [[দ্বিপদী সহগ]]। স্যাম্পল এল-মোমেন্টগুলোকে [[সম্ভাব্যতা ওয়েটেড মোমেন্ট]]-এর পরিপ্রেক্ষিতে পরোক্ষভাবেও সংজ্ঞায়িত করা যায়,<ref name=hos:90/><ref name=green:79>
(1979). [https://pdfs.semanticscholar.org/2e01/2d5677fa4edf246d39292ab6e58254e13df2.pdf Probability weighted moments: Definition and relation to parameters of several distributions expressed in inverse form]. ''Water Resources Research''. 15 (5) 1049–1054. doi:[https://doi.org/10.1029/WR015i005p01049 10.1029/WR015i005p01049].
</ref><ref name=land:79>
(1979). "Probability weighted moments compared with some traditional techniques in estimating Gumbel parameters and quantiles". ''Water Resources Research''. 15 (5) 1055–1064. doi:[https://doi.org/10.1029/WR015i005p01055 10.1029/WR015i005p01055].
</ref>
যা তাদের গণনার জন্য আরও দক্ষ [[অ্যালগরিদম]] প্রদান করে।<ref name=wang:96/><ref>
(6 January 2006). [http://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/lmoment.htm L&nbsp;moments]. ''itl.nist.gov''.
</ref>

==এল-মোমেন্ট অনুপাত==
এক সেট 'এল-মোমেন্ট অনুপাত', বা স্কেল করা এল-মোমেন্ট, সংজ্ঞায়িত করা হয় এভাবে:
<math display="block"> \tau_r = \lambda_r / \lambda_2, \qquad r = 3, 4, \dots ~.</math>
এগুলোর মধ্যে সবচেয়ে দরকারী হলো <math> \tau_3 ,</math> যাকে 'এল-স্কিউনেস' বলা হয়, এবং <math> \tau_4 ,</math> 'এল-কার্টোসিস'।

এল-মোমেন্ট অনুপাত &thinsp;−1, 1 ব্যবধির মধ্যে থাকে। কিছু নির্দিষ্ট এল-মোমেন্ট অনুপাতের জন্য আরও কঠোর সীমা পাওয়া যেতে পারে; বিশেষত, এল-কার্টোসিস <math> \tau_4 </math> থাকে &thinsp;−1 /4, 1 ব্যবধিতে, এবং<ref name=hos:90/>
<math display="block"> \tfrac{1}{4} \left( 5 \tau_3^2 - 1 \right) \leq \tau_4 < 1 \, .</math>

[[ভেদাঙ্ক সহগ]]-এর অনুরূপ একটি রাশি, কিন্তু এল-মোমেন্টের ওপর ভিত্তি করে, তাও সংজ্ঞায়িত করা যায়:
<math display="block"> \tau = \lambda_2 / \lambda_1 \, ,</math>
যাকে "এল-ভেদাঙ্ক সহগ" বা "এল-CV" বলা হয়। একটি অ-ঋণাত্মক র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, এটি &thinsp;0, 1&thinsp; ব্যবধিতে থাকে<ref name=hos:90/> এবং এটি [[জিনি সহগ]]-এর সমান।<ref name=rvp:01>
(2017). [http://oa.upm.es/49935/ Key structural features of Boreal forests may be detected directly using L-moments from airborne lidar data]. ''Remote Sensing of Environment''. 194 437–446. doi:[https://doi.org/10.1016/j.rse.2016.10.024 10.1016/j.rse.2016.10.024].
</ref>

==সম্পর্কিত রাশি==
এল-মোমেন্ট হলো পরিসংখ্যানগত রাশি যা সম্ভাবনা ওয়েটেড মোমেন্ট<ref>(2005). [https://books.google.com/books?id=gurAnfB4nvUC Regional Frequency Analysis: An Approach Based on L-moments]. 3. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01940-8.</ref> (PWM) থেকে উদ্ভূত, যা আগে (১৯৭৯ সালে) সংজ্ঞায়িত হয়েছিল।<ref name=green:79/> PWM ব্যবহার করা হয় বিপরীত আকারে প্রকাশযোগ্য বিন্যাসের প্যারামিটারগুলো দক্ষতার সাথে প্রাক্কলন করতে, যেমন [[গাম্বেল বিন্যাস|গাম্বেল]],<ref name=land:79/> [[টুকেই ল্যাম্বডা বিন্যাস|টুকেই ল্যাম্বডা]], এবং [[ওয়েকবি বিন্যাস|ওয়েকবি]] বিন্যাস।

==ব্যবহার==
এল-মোমেন্ট ব্যবহারের দুটি সাধারণ উপায় রয়েছে, উভয় ক্ষেত্রেই প্রচলিত মোমেন্টের অনুরূপ:
# ডেটার জন্য [[সারসংক্ষেপ পরিসংখ্যান]] হিসেবে।
# [[সম্ভাব্যতা বিন্যাস]]-এর প্যারামিটারগুলোর প্রাক্কলক উদ্ভূত করতে, প্রচলিত মোমেন্টের পরিবর্তে এল-মোমেন্টের ওপর [[মোমেন্ট পদ্ধতি (পরিসংখ্যান)|মোমেন্ট পদ্ধতি]] প্রয়োগ করে।

এগুলো ছাড়াও, পরবর্তী (প্রাক্কলন) পদ্ধতিটি সাধারণত [[সর্বোচ্চ সম্ভাবনা]] (maximum likelihood) পদ্ধতি ব্যবহার করে করা হয়; তবে এল-মোমেন্ট ব্যবহারের বেশ কিছু সুবিধা রয়েছে। বিশেষত, এল-মোমেন্ট প্রচলিত মোমেন্টের চেয়ে বেশি [[দৃঢ় পরিসংখ্যান|দৃঢ়]] (robust), এবং উচ্চতর এল-মোমেন্টের অস্তিত্বের জন্য শুধুমাত্র র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের সসীম গড় থাকা প্রয়োজন। প্রাক্কলনের জন্য এল-মোমেন্ট অনুপাতের একটি অসুবিধা হলো তাদের সাধারণত ছোট সংবেদনশীলতা। উদাহরণস্বরূপ, ল্যাপলাস বিন্যাসের কার্টোসিস ৬ এবং দুর্বল এক্সপোনেনশিয়াল টেইল রয়েছে, কিন্তু এর চতুর্থ এল-মোমেন্ট অনুপাত ৩ ডিগ্রি অফ ফ্রিডম বিশিষ্ট স্টুডেন্ট-টি বিন্যাসের চেয়ে বড়, যার কার্টোসিস অসীম এবং অনেক ভারী টেইল রয়েছে।

উদাহরণ হিসেবে, অল্প কিছু ডেটা পয়েন্ট এবং একটি আউটলায়ার ডেটা মান বিশিষ্ট একটি ডেটাসেট বিবেচনা করুন। যদি এই ডেটাসেটের সাধারণ [[মানক বিচ্যুতি]] নেওয়া হয়, তবে এটি এই একটি পয়েন্ট দ্বারা অত্যন্ত প্রভাবিত হবে: তবে, যদি এল-স্কেল নেওয়া হয়, তবে এটি এই ডেটা মানের প্রতি অনেক কম সংবেদনশীল হবে। ফলস্বরূপ, ডেটাতে আউটলায়ার নিয়ে কাজ করার সময় এল-মোমেন্ট প্রচলিত মোমেন্টের চেয়ে অনেক বেশি অর্থবহ। তবে, মোমেন্টকে এল-মোমেন্ট দ্বারা প্রতিস্থাপন করার চেয়ে আরও বেশি দৃঢ়তা অর্জনের জন্য অন্যান্য উপযুক্ত পদ্ধতিও রয়েছে। এর একটি উদাহরণ হলো [[এক্সট্রিম ভ্যালু থিওরি]] (EVT)-তে সারসংক্ষেপ পরিসংখ্যান হিসেবে এল-মোমেন্ট ব্যবহার করা। এই প্রয়োগটি এল-মোমেন্টের সীমিত দৃঢ়তা প্রদর্শন করে, অর্থাৎ এল-স্ট্যাটিস্টিকস [[প্রতিরোধী পরিসংখ্যান]] (resistant statistics) নয়, কারণ একটি একক চরম মান তাদের প্রভাবিত করতে পারে, কিন্তু যেহেতু তারা শুধুমাত্র রৈখিক (উচ্চ-ক্রমের পরিসংখ্যান নয়), তাই তারা প্রচলিত মোমেন্টের চেয়ে চরম মান দ্বারা কম প্রভাবিত হয়।

প্রচলিত মোমেন্টের ওপর এল-মোমেন্টের আরেকটি সুবিধা হলো যে তাদের অস্তিত্বের জন্য শুধুমাত্র র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের সসীম গড় থাকা প্রয়োজন, তাই উচ্চতর প্রচলিত মোমেন্ট বিদ্যমান না থাকলেও এল-মোমেন্ট বিদ্যমান থাকে (উদাহরণস্বরূপ, কম [[ডিগ্রি অফ ফ্রিডম (পরিসংখ্যান)|ডিগ্রি অফ ফ্রিডম]] বিশিষ্ট [[স্টুডেন্ট-টি বিন্যাস]]-এর জন্য)। এল-মোমেন্টের প্রাক্কলনের মানক ত্রুটি সসীম হওয়ার জন্য অতিরিক্ত একটি সসীম ভেদাঙ্ক প্রয়োজন।<ref name=hos:90/>

পরিসংখ্যানগত সাহিত্যে এল-মোমেন্টের কিছু উপস্থিতি ডেভিড ও নাগারাজা (২০০৩, অনুচ্ছেদ ৯.৯)<ref>(2003). "Order Statistics". Wiley. ISBN 978-0-471-38926-2.</ref> বইটিতে এবং বেশ কিছু গবেষণাপত্রে দেখা যায়।<ref name=rvp:01/><ref>(2007). "A contribution to multivariate L-moments: L-comoment matrices". ''Journal of Multivariate Analysis''. 98 (9) 1765–1781. doi:[https://doi.org/10.1016/j.jmva.2007.01.008 10.1016/j.jmva.2007.01.008].</ref><ref>(2008). "A small sample comparison of maximum likelihood, moments and L-moments methods for the asymmetric exponential power distribution". ''Computational Statistics & Data Analysis''. 52 (3) 1661–1673. doi:[https://doi.org/10.1016/j.csda.2007.05.021 10.1016/j.csda.2007.05.021].</ref><ref>(2009). "Estimation of the generalized logistic distribution parameters: comparative study". ''Statistical Methodology''. 6 (3) 262–279. doi:[https://doi.org/10.1016/j.stamet.2008.10.001 10.1016/j.stamet.2008.10.001].</ref><ref>Jones, M. C.. (2004). "On some expressions for variance, covariance, skewness and L-moments". ''Journal of Statistical Planning and Inference''. 126 (1) 97–106. doi:[https://doi.org/10.1016/j.jspi.2003.09.001 10.1016/j.jspi.2003.09.001].</ref><ref>Jones, M. C.. (2009). "Kumaraswamy's distribution: A beta-type distribution with some tractability advantages". ''Statistical Methodology''. 6 (1) 70–81. doi:[https://doi.org/10.1016/j.stamet.2008.04.001 10.1016/j.stamet.2008.04.001].</ref> এল-মোমেন্টের সাথে সাধারণ মোমেন্টের বেশ কিছু অনুকূল তুলনা রিপোর্ট করা হয়েছে।<ref>Royston, P.. (1992). "Which measures of skewness and kurtosis are best?". ''[[Statistics in Medicine (journal)|Statistics in Medicine]]''. 11 (3) 333–343. doi:[https://doi.org/10.1002/sim.4780110306 10.1002/sim.4780110306].</ref><ref>(2000). [http://sedici.unlp.edu.ar/handle/10915/143450 L-moments and C-moments]. ''Stochastic Environmental Research and Risk Assessment''. 14 (1) 50–68. doi:[https://doi.org/10.1007/s004770050004 10.1007/s004770050004].</ref>

==কিছু সাধারণ বিন্যাসের মান==
নিচের সারণীতে কিছু সাধারণ [[অবিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাস]]-এর প্রথম দুটি এল-মোমেন্টের রাশি এবং প্রথম দুটি এল-মোমেন্ট অনুপাতের সংখ্যাসূচক মান দেওয়া হলো।<ref name=hos:90/><ref name=jones:02>
Jones, M.C.. (2002). "Student's simplest distribution". ''[[Journal of the Royal Statistical Society, Series D]]''. 51 (1) 41–49. doi:[https://doi.org/10.1111/1467-9884.00297 10.1111/1467-9884.00297].
</ref>
আরও জটিল বিন্যাসের জন্য জটিল রাশি উদ্ভূত হয়েছে, যার এল-মোমেন্ট অনুপাত এক বা একাধিক বিন্যাস প্যারামিটারের সাথে পরিবর্তিত হয়, যার মধ্যে রয়েছে [[লগ-নরমাল বিন্যাস|লগ-নরমাল]], [[গামা বিন্যাস|গামা]], [[সাধারণীকৃত প্যারেটো বিন্যাস|সাধারণীকৃত প্যারেটো]], [[সাধারণীকৃত চরম মান বিন্যাস|সাধারণীকৃত চরম মান]], এবং [[সাধারণীকৃত লজিস্টিক বিন্যাস|সাধারণীকৃত লজিস্টিক]] বিন্যাস।<ref name=hos:90/>

{| class="wikitable sortable" style="text-align:center; margin-left: 1.5em;"
|-
! বিন্যাস
! class="unsortable" | প্যারামিটার
! class="unsortable" | গড়, ''λ''<sub>1</sub>
! class="unsortable" | এল-স্কেল, ''λ''<sub>2</sub>
! এল-স্কিউনেস, ''τ''<sub>3</sub>
! এল-কার্টোসিস, ''τ''<sub>4</sub>
|-
! [[অবিচ্ছিন্ন ইউনিফর্ম বিন্যাস|ইউনিফর্ম]]
| a, b || 1/2(''a'' + ''b'') || 1/6(''b'' – ''a'')
|align="right"| 0
|align="right"| 0
|-
! [[লজিস্টিক বিন্যাস|লজিস্টিক]]
| μ, s || μ || s
|align="right"| 0
|align="right"| 1= 1/6 = 0.1667
|-
! [[নরমাল বিন্যাস|নরমাল]]
| μ, ''σ''<sup>2</sup> || μ || ''σ''/''π''
|align="right"| 0
|align="right"| 1= 30 ''[[Magic angle|θ<sub>m</sub>]]''/π'' '' − 9 = 0.1226
|-
! [[ল্যাপলাস বিন্যাস|ল্যাপলাস]]
| μ, b || μ || 3/4 ''b''
|align="right"| 0
|align="right"| 1= 1/3 2 = 0.2357
|-
! [[স্টুডেন্ট-টি বিন্যাস|স্টুডেন্ট-টি]], ২ [[ডিগ্রি অফ ফ্রিডম (পরিসংখ্যান)|d.f.]]
| 1= ''ν'' = 2 || 0 || 1= ''π''/2 2 = 1.111
|align="right"| 0
|align="right"| 1= 3/8 = 0.375
|-
! [[স্টুডেন্ট-টি বিন্যাস|স্টুডেন্ট-টি]], ৪ [[ডিগ্রি অফ ফ্রিডম (পরিসংখ্যান)|d.f.]]
| 1= ''ν'' = 4 || 0 || 1= 15/64 ''π'' = 0.7363
|align="right"| 0
|align="right"| 1= 111/512 = 0.2168
|-
! [[এক্সপোনেনশিয়াল বিন্যাস|এক্সপোনেনশিয়াল]]
| λ || 1/''λ'' || 1/2 ''λ''
|align="right"| 1= 1/3 = 0.3333
|align="right"| 1= 1/6 = 0.1667
|-
! [[গাম্বেল বিন্যাস|গাম্বেল]]
| μ, β  || μ + ''[[অয়লার-মাসকেরোনি ধ্রুবক|γ<sub>e</sub>]]'' β || ''β'' log<sub>2</sub>(3)
|align="right"| 1= 2 log<sub>2</sub>(3) − 3 = 0.1699
|align="right"| 1= 16 − 10 log<sub>2</sub>(3) = 0.1504
|}

প্রতিটি বিন্যাসের প্যারামিটারের নোটেশন লিঙ্কযুক্ত নিবন্ধে ব্যবহৃত নোটেশনের মতোই। [[গাম্বেল বিন্যাস]]-এর গড়ের রাশিতে, γ<sub>e</sub> হলো [[অয়লার-মাসকেরোনি ধ্রুবক]] 0.5772 1566 4901 ... ।

==সম্প্রসারণ==
'ট্রিমড এল-মোমেন্ট' (Trimmed L-moments) হলো এল-মোমেন্টের সাধারণীকরণ যা চরম পর্যবেক্ষণগুলোকে শূন্য গুরুত্ব দেয়। তাই এগুলো আউটলায়ারের উপস্থিতির প্রতি বেশি দৃঢ়, এবং এল-মোমেন্টের বিপরীতে এগুলো এমন বিন্যাসের জন্য সুসংজ্ঞায়িত হতে পারে যার গড় বিদ্যমান নেই, যেমন [[কশি বিন্যাস]]।<ref>Elamir, Elsayed A. H.. (2003). "Trimmed L-moments". ''Computational Statistics & Data Analysis''. 43 (3) 299–314. doi:[https://doi.org/10.1016/S0167-9473(02)00250-5 10.1016/S0167-9473(02)00250-5].</ref>

==আরও দেখুন==
*[[এল-এস্টিমেটর]]

==তথ্যসূত্র==
<references />

==বহিঃসংযোগ==
* [http://www.research.ibm.com/people/h/hosking/lmoments.html এল-মোমেন্ট পৃষ্ঠা] জোনাথন আর.এম. হোসকিং, [[আইবিএম রিসার্চ]]
* [http://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/lmoment.htm এল মোমেন্ট।] [[ডেটাপ্লট]] রেফারেন্স ম্যানুয়াল, খণ্ড ১, সহায়ক অধ্যায়। [[ন্যাশনাল ইনস্টিটিউট অফ স্ট্যান্ডার্ডস অ্যান্ড টেকনোলজি]], ২০০৬। সংগৃহীত ২০১০-০৫-২৫।
* [https://github.com/jorenham/lmo Lmo] লাইটওয়েট পাইথন, যাতে এল-মোমেন্ট, ট্রিমড এল-মোমেন্ট এবং মাল্টিভ্যারিয়েট এল-কোমোমেন্ট দ্রুত গণনার ফাংশন অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

expanded
descriptive

[[Category:মোমেন্ট (গণিত)]]
[[Category:সারসংক্ষেপ পরিসংখ্যান]]

----
''উৎস:'' ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “L-moment” নিবন্ধের অনুবাদ।
''মূল নিবন্ধ:'' https://en.wikipedia.org/wiki/L-moment
''এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।''