View source for ইউনিফর্মলি মোস্ট পাওয়ারফুল টেস্ট

[[পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিং]]-এ, একটি '''ইউনিফর্মলি মোস্ট পাওয়ারফুল''' ('''UMP''') '''টেস্ট''' হলো এমন একটি [[পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিং|হাইপোথিসিস টেস্ট]], যার একটি নির্দিষ্ট [[আকার (পরিসংখ্যান)|আকার]] ''α''-এর সমস্ত সম্ভাব্য টেস্টের মধ্যে '''সর্বোচ্চ [[পরিসংখ্যানগত ক্ষমতা|ক্ষমতা]] <math>1 - \beta</math>''' থাকে। উদাহরণস্বরূপ, [[নেইম্যান-পিয়ারসন লেমা]] অনুযায়ী, সরল (পয়েন্ট) হাইপোথিসিস পরীক্ষার জন্য [[লাইকলিহুড-রেশিও টেস্ট]] হলো UMP।

== সেটিং ==
ধরা যাক <math>X</math> একটি র‍্যান্ডম ভেক্টর (পরিমাপের সাথে সম্পর্কিত), যা [[প্যারামিটারাইজড ফ্যামিলি]]-এর [[সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন]] বা [[সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন]] <math>f_{\theta}(x)</math> থেকে নেওয়া হয়েছে, যা অজানা ডিটারমিনিস্টিক প্যারামিটার <math>\theta \in \Theta</math>-এর উপর নির্ভর করে। প্যারামিটার স্পেস <math>\Theta</math>-কে দুটি বিচ্ছিন্ন সেট <math>\Theta_0</math> এবং <math>\Theta_1</math>-এ বিভক্ত করা হয়েছে। ধরা যাক <math>H_0</math> হলো সেই হাইপোথিসিস যেখানে <math>\theta \in \Theta_0</math>, এবং <math>H_1</math> হলো সেই হাইপোথিসিস যেখানে <math>\theta \in \Theta_1</math>।
হাইপোথিসিসের বাইনারি টেস্টটি একটি টেস্ট ফাংশন <math>\varphi(x)</math> ব্যবহার করে করা হয়, যার একটি রিজেক্ট রিজিয়ন <math>R</math> (পরিমাপ স্পেসের একটি উপসেট) থাকে।
:<math>\varphi(x) =
\begin{cases}
1 & \text{if } x \in R \\
0 & \text{if } x \in R^c
\end{cases}</math>
এর অর্থ হলো, যদি পরিমাপ <math> X \in R</math> হয় তবে <math>H_1</math> কার্যকর এবং যদি পরিমাপ <math>X\in R^c</math> হয় তবে <math>H_0</math> কার্যকর।
লক্ষ্য করুন যে <math>R \cup R^c</math> হলো পরিমাপ স্পেসের একটি বিচ্ছিন্ন আচ্ছাদন।

== আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা ==
একটি টেস্ট ফাংশন <math>\varphi(x)</math> হলো <math>\alpha</math> আকারের UMP, যদি অন্য যেকোনো টেস্ট ফাংশন <math>\varphi'(x)</math>-এর জন্য যা নিচের শর্ত পূরণ করে:
:<math>\sup_{\theta\in\Theta_0}\; \operatorname{E}[\varphi'(X)|\theta]=\alpha'\leq\alpha=\sup_{\theta\in\Theta_0}\; \operatorname{E}[\varphi(X)|\theta]\,</math>
আমরা পাই
:<math> \forall \theta \in \Theta_1, \quad \operatorname{E}[\varphi'(X)|\theta]= 1 - \beta'(\theta) \leq 1 - \beta(\theta) =\operatorname{E}[\varphi(X)|\theta].</math>

== কার্লিন-রুবিন উপপাদ্য ==
কার্লিন-রুবিন উপপাদ্যটি (যা [[স্যামুয়েল কার্লিন]] এবং [[হারমান রুবিন]]-এর নামে নামকরণ করা হয়েছে) কম্পোজিট হাইপোথিসিসের জন্য নেইম্যান-পিয়ারসন লেমার একটি সম্প্রসারণ হিসেবে গণ্য করা যেতে পারে।<ref>Casella, G.; Berger, R.L. (2008), ''Statistical Inference'', Brooks/Cole. 0-495-39187-5 (Theorem 8.3.17)</ref> একটি স্কেলার পরিমাপ বিবেচনা করুন যার একটি সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন একটি স্কেলার প্যারামিটার ''θ'' দ্বারা প্যারামিটারাইজড, এবং লাইকলিহুড রেশিও <math> l(x) = f_{\theta_1}(x) / f_{\theta_0}(x)</math> সংজ্ঞায়িত করুন।
যদি <math>l(x)</math>, <math>x</math>-এর সাপেক্ষে মোনোটোন নন-ডিক্রিজিং হয়, যেকোনো জোড়া <math>\theta_1 \geq \theta_0</math>-এর জন্য (যার অর্থ হলো <math>x</math> যত বড় হবে, <math>H_1</math> তত বেশি সম্ভাব্য হবে), তবে থ্রেশহোল্ড টেস্ট:
:<math>\varphi(x) =
\begin{cases}
1 & \text{if } x > x_0 \\
0 & \text{if } x < x_0
\end{cases}</math>
:যেখানে <math>x_0</math> এমনভাবে নির্বাচন করা হয় যাতে <math>\operatorname{E}_{\theta_0}\varphi(X)=\alpha</math> হয়

এটি <math> H_0: \theta \leq \theta_0 \text{ vs. } H_1: \theta > \theta_0 </math> পরীক্ষার জন্য ''α'' আকারের UMP টেস্ট।

লক্ষ্য করুন যে একই টেস্ট <math> H_0: \theta = \theta_0 \text{ vs. } H_1: \theta > \theta_0 </math> পরীক্ষার জন্যও UMP।

== গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্র: এক্সপোনেনশিয়াল ফ্যামিলি ==
যদিও কার্লিন-রুবিন উপপাদ্যটি স্কেলার প্যারামিটার এবং স্কেলার পরিমাপের সীমাবদ্ধতার কারণে দুর্বল মনে হতে পারে, তবে দেখা যায় যে এমন অনেক সমস্যা রয়েছে যার জন্য এই উপপাদ্যটি কার্যকর। বিশেষ করে, এক-মাত্রিক [[এক্সপোনেনশিয়াল ফ্যামিলি]]-এর [[সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন]] বা [[সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন]] যেখানে
:<math>f_\theta(x) = g(\theta) h(x) \exp(\eta(\theta) T(x))</math>
সেখানে [[সাফিসিয়েন্সি (পরিসংখ্যান)|সাফিসিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক]] <math>T(x)</math>-এর ক্ষেত্রে একটি মোনোটোন নন-ডিক্রিজিং লাইকলিহুড রেশিও থাকে, যদি <math>\eta(\theta)</math> নন-ডিক্রিজিং হয়।

== উদাহরণ ==
ধরা যাক <math>X=(X_0 ,\ldots , X_{M-1})</math> হলো i.i.d. নরমালি ডিস্ট্রিবিউটেড <math>N</math>-মাত্রিক র‍্যান্ডম ভেক্টর, যার গড় <math>\theta m</math> এবং কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স <math>R</math>। তাহলে আমরা পাই

:<math>\begin{align}
f_\theta (X) = {} & (2 \pi)^{-MN/2} |R|^{-M/2} \exp \left\{-\frac 1 2 \sum_{n=0}^{M-1} (X_n - \theta m)^T R^{-1}(X_n - \theta m) \right\} \\[4pt]
= {} & (2 \pi)^{-MN/2} |R|^{-M/2} \exp \left\{-\frac 1 2 \sum_{n=0}^{M-1} \left (\theta^2 m^T R^{-1} m \right ) \right\} \\[4pt]
& \exp \left\{-\frac 1 2 \sum_{n=0}^{M-1} X_n^T R^{-1} X_n \right\} \exp \left\{\theta m^T R^{-1} \sum_{n=0}^{M-1}X_n \right\}
\end{align}</math>

যা পূর্ববর্তী বিভাগে দেখানো এক্সপোনেনশিয়াল ফ্যামিলির আকারের মতোই, যেখানে সাফিসিয়েন্ট স্ট্যাটিস্টিক হলো

: <math>T(X) = m^T R^{-1} \sum_{n=0}^{M-1}X_n.</math>

সুতরাং, আমরা সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যে টেস্টটি
:<math>\varphi(T) =  \begin{cases} 1 & T > t_0 \\ 0 & T < t_0 \end{cases} \qquad \operatorname{E}_{\theta_0} \varphi (T) = \alpha</math>

এটি <math>H_0: \theta \leqslant \theta_0</math> বনাম <math>H_1: \theta > \theta_0</math> পরীক্ষার জন্য <math>\alpha</math> আকারের UMP টেস্ট।

== আরও আলোচনা ==
সাধারণভাবে, ভেক্টর প্যারামিটার বা দুই-পার্শ্বীয় টেস্টের (যেখানে একটি হাইপোথিসিস বিকল্পের উভয় পাশে থাকে) জন্য UMP টেস্ট বিদ্যমান থাকে না। এর কারণ হলো এই পরিস্থিতিগুলোতে, প্যারামিটারের একটি সম্ভাব্য মানের জন্য (যেমন <math>\theta_1</math> যেখানে <math>\theta_1 > \theta_0</math>) একটি নির্দিষ্ট আকারের সবচেয়ে শক্তিশালী টেস্ট, প্যারামিটারের অন্য মানের জন্য (যেমন <math>\theta_2</math> যেখানে <math>\theta_2 < \theta_0</math>) সবচেয়ে শক্তিশালী টেস্ট থেকে আলাদা হয়। ফলস্বরূপ, এই পরিস্থিতিগুলোতে কোনো টেস্টই '''ইউনিফর্মলি''' মোস্ট পাওয়ারফুল হয় না।

November 2010

== তথ্যসূত্র ==
<references />

== আরও পড়ুন ==
* (1967). "Mathematical Statistics: A decision theoretic approach". Academic Press.
* (1974). "Introduction to the theory of statistics". McGraw-Hill.
* L. L. Scharf, ''Statistical Signal Processing'', Addison-Wesley, 1991, section 4.7.

inference

{{DEFAULTSORT:Uniformly Most Powerful Test}}
[[Category:পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিং]]

----
''উৎস:'' ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Uniformly most powerful test” নিবন্ধের অনুবাদ।
''মূল নিবন্ধ:'' https://en.wikipedia.org/wiki/Uniformly_most_powerful_test
''এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।''