হোমোস্কেডাস্টিসিটি এবং হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি

পরিসংখ্যানে, র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল বা দৈব চলকের একটি অনুক্রম-কে হোমোস্কেডাস্টিসিটি (IPA: /ˌhoʊmoʊskəˈdæstɪk/) বলা হয় যদি এর সমস্ত দৈব চলকের একই সসীম ভেদাঙ্ক থাকে; একে ভেদাঙ্কের সমজাতীয়তা (homogeneity of variance)-ও বলা হয়। এর পরিপূরক ধারণাটিকে বলা হয় হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি, যা ভেদাঙ্কের বিষমজাতীয়তা (heterogeneity of variance) নামেও পরিচিত।^{[note 1]} এই শব্দটি প্রাচীন গ্রিক σκεδάννυμι (skedánnymi) থেকে উদ্ভূত, যার অর্থ 'ছড়িয়ে দেওয়া'।^[1]^[2]^[3]

বাস্তবে হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি (IPA: /ˌhɛtəroʊskəˈdæstɪk/) থাকা সত্ত্বেও কোনো চলককে হোমোস্কেডাস্টিসিটি ধরে নিলে তা অনভিমুখী (unbiased) কিন্তু অদক্ষ (inefficient) পয়েন্ট এস্টিমেট প্রদান করে এবং স্ট্যান্ডার্ড এরর-এর ক্ষেত্রে পক্ষপাতদুষ্ট অনুমান তৈরি করে। এর ফলে পিয়ারসন সহগ দ্বারা পরিমাপকৃত goodness of fit-এর মান অত্যধিক বেশি মনে হতে পারে।

হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির অস্তিত্ব রিগ্রেশন বিশ্লেষণ এবং ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণে একটি বড় উদ্বেগের বিষয়, কারণ এটি পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য পরীক্ষা-কে অকার্যকর করে দেয়, যা ধরে নেয় যে মডেলিং ত্রুটিগুলোর ভেদাঙ্ক একই। যদিও হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির উপস্থিতিতেও ordinary least squares (OLS) এস্টিমেটর অনভিমুখী থাকে, তবুও এটি অদক্ষ এবং হোমোস্কেডাস্টিসিটির অনুমানের ওপর ভিত্তি করে করা অনুমান বিভ্রান্তিকর হয়। অতীতে এই ক্ষেত্রে প্রায়শই generalized least squares (GLS) ব্যবহৃত হতো।^[4]^[5] বর্তমানে, ইকোনোমেট্রিক্সে আদর্শ অনুশীলন হলো GLS ব্যবহারের পরিবর্তে heteroskedasticity-consistent standard errors অন্তর্ভুক্ত করা, কারণ প্রকৃত skedastic function অজানা থাকলে ছোট নমুনার ক্ষেত্রে GLS শক্তিশালী পক্ষপাত প্রদর্শন করতে পারে।^[6]

যেহেতু হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি ত্রুটিগুলোর দ্বিতীয় মোমেন্টের প্রত্যাশা নিয়ে কাজ করে, তাই এর উপস্থিতিকে দ্বিতীয় ক্রমের মিসস্পেসিফিকেশন বলা হয়।^[7]

ইকোনোমেট্রিশিয়ান Robert Engle হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির উপস্থিতিতে রিগ্রেশন বিশ্লেষণের ওপর তার গবেষণার জন্য ২০০৩ সালে অর্থনীতিতে নোবেল স্মৃতি পুরস্কার লাভ করেন, যা autoregressive conditional heteroscedasticity (ARCH) মডেলিং কৌশল প্রণয়নে সহায়তা করেছিল।^[8]

সংজ্ঞা

রৈখিক রিগ্রেশন সমীকরণটি বিবেচনা করুন $y_{i} = x_{i} β_{i} + ε_{i}, i = 1, \dots, N,$ যেখানে নির্ভরশীল দৈব চলক $y_{i}$ হলো নির্ণায়ক চলক $x_{i}$ গুণিতক সহগ $β_{i}$ এবং একটি দৈব বিচ্যুতি পদ $ε_{i}$ -এর সমষ্টি, যার গড় শূন্য। যদি $ε_{i}$ -এর ভেদাঙ্ক একটি ধ্রুবক $σ^{2}$ হয়, তবে বিচ্যুতিগুলো হোমোস্কেডাস্টিস্টিক; অন্যথায়, সেগুলো হেটেরোস্কেডাস্টিস্টিক। বিশেষত, বিচ্যুতিগুলো হেটেরোস্কেডাস্টিস্টিক হবে যদি $ε_{i}$ -এর ভেদাঙ্ক $i$ বা $x_{i}$ -এর মানের ওপর নির্ভর করে। একটি উপায় হলো যদি $σ_{i}^{2} = x_{i} σ^{2}$ হয় (একটি scedastic function-এর উদাহরণ), তবে ভেদাঙ্ক $x$ -এর মানের সমানুপাতিক।

আরও সাধারণভাবে, যদি $i$ জুড়ে বিচ্যুতি $ε_{i}$ -এর ভেদাঙ্ক-সহভেদাঙ্ক ম্যাট্রিক্সের কর্ণ ধ্রুবক না হয়, তবে বিচ্যুতিটি হেটেরোস্কেডাস্টিস্টিক।^[9] নিচের ম্যাট্রিক্সগুলো হলো সহভেদাঙ্ক যখন সময়ের সাথে মাত্র তিনটি পর্যবেক্ষণ থাকে। ম্যাট্রিক্স A-এর বিচ্যুতি হোমোস্কেডাস্টিস্টিক; এটি একটি সাধারণ ক্ষেত্র যেখানে OLS হলো সেরা রৈখিক অনভিমুখী এস্টিমেটর। ম্যাট্রিক্স B এবং C-এর বিচ্যুতিগুলো হেটেরোস্কেডাস্টিস্টিক। ম্যাট্রিক্স B-তে, ভেদাঙ্ক সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় এবং ক্রমাগত বৃদ্ধি পায়; ম্যাট্রিক্স C-তে, ভেদাঙ্ক $x$ -এর মানের ওপর নির্ভর করে। ম্যাট্রিক্স D-এর বিচ্যুতি হোমোস্কেডাস্টিস্টিক কারণ কর্ণের ভেদাঙ্কগুলো ধ্রুবক, যদিও কর্ণের বাইরের সহভেদাঙ্কগুলো শূন্য নয় এবং সাধারণ লিনিয়ার রিগ্রেশন অন্য কারণে অদক্ষ: সিরিয়াল কোরিলেশন।

\begin{aligned} A & = σ^{2} [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] & B & = σ^{2} [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}] & C & = σ^{2} [\begin{matrix} x_{1} & 0 & 0 \\ 0 & x_{2} & 0 \\ 0 & 0 & x_{3} \end{matrix}] & D & = σ^{2} [\begin{matrix} 1 & ρ & ρ^{2} \\ ρ & 1 & ρ \\ ρ^{2} & ρ & 1 \end{matrix}] \end{aligned}

উদাহরণ

হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি প্রায়শই ঘটে যখন পর্যবেক্ষণের আকারের মধ্যে বড় পার্থক্য থাকে।

হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির একটি ধ্রুপদী উদাহরণ হলো আয়ের বিপরীতে খাবারের খরচ। একজন ধনী ব্যক্তি মাঝে মাঝে সস্তা খাবার এবং অন্য সময়ে ব্যয়বহুল খাবার খেতে পারেন। একজন দরিদ্র ব্যক্তি প্রায় সবসময়ই সস্তা খাবার খাবেন। অতএব, উচ্চ আয়ের ব্যক্তিদের খাবারের খরচে বেশি পরিবর্তনশীলতা দেখা যায়।

একটি রকেট উৎক্ষেপণের সময়, একজন পর্যবেক্ষক প্রতি সেকেন্ডে রকেটের অতিক্রান্ত দূরত্ব পরিমাপ করেন। প্রথম কয়েক সেকেন্ডে, পরিমাপগুলো সেন্টিমিটারের কাছাকাছি নির্ভুল হতে পারে। পাঁচ মিনিট পর, দূরত্বের বৃদ্ধি, বায়ুমণ্ডলীয় বিকৃতি এবং অন্যান্য বিভিন্ন কারণের জন্য পরিমাপের নির্ভুলতা কেবল ১০০ মিটারের মধ্যে ভালো হতে পারে। সুতরাং দূরত্বের পরিমাপ হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি প্রদর্শন করতে পারে।

ফলাফল

ধ্রুপদী রৈখিক রিগ্রেশন মডেলের অন্যতম অনুমান হলো যে কোনো হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি নেই। এই অনুমান ভঙ্গ করার অর্থ হলো Gauss–Markov theorem প্রযোজ্য নয়, যার মানে হলো OLS এস্টিমেটরগুলো সেরা রৈখিক অনভিমুখী এস্টিমেটর (BLUE) নয় এবং তাদের ভেদাঙ্ক অন্য সব অনভিমুখী এস্টিমেটরের তুলনায় সর্বনিম্ন নয়। হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি সাধারণ লিনিয়ার রিগ্রেশন সহগ অনুমানগুলোকে পক্ষপাতদুষ্ট করে না, যদিও এটি সহগগুলোর ভেদাঙ্ক (এবং এইভাবে, স্ট্যান্ডার্ড এরর) এর সাধারণ লিনিয়ার রিগ্রেশন অনুমানগুলোকে পক্ষপাতদুষ্ট করতে পারে, যা প্রকৃত জনসংখ্যা ভেদাঙ্কের উপরে বা নিচে হতে পারে। সুতরাং, হেটেরোস্কেডাস্টিস্টিক ডেটা ব্যবহার করে রিগ্রেশন বিশ্লেষণ ভবিষ্যদ্বাণী চলক এবং ফলাফলের মধ্যে সম্পর্কের জন্য একটি অনভিমুখী অনুমান প্রদান করবে, কিন্তু স্ট্যান্ডার্ড এরর এবং ডেটা বিশ্লেষণ থেকে প্রাপ্ত অনুমানগুলো সন্দেহজনক। পক্ষপাতদুষ্ট স্ট্যান্ডার্ড এরর পক্ষপাতদুষ্ট অনুমানের দিকে নিয়ে যায়, তাই হাইপোথিসিস পরীক্ষার ফলাফল সম্ভবত ভুল। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি হেটেরোস্কেডাস্টিস্টিক ডেটা সেটে OLS সম্পাদন করা হয়, যা পক্ষপাতদুষ্ট স্ট্যান্ডার্ড এরর অনুমান প্রদান করে, তবে একজন গবেষক একটি নির্দিষ্ট তাৎপর্য স্তরে একটি নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থ হতে পারেন, যখন সেই নাল হাইপোথিসিসটি আসলে প্রকৃত জনসংখ্যার জন্য অস্বাভাবিক ছিল (একটি টাইপ II ত্রুটি তৈরি করে)।

নির্দিষ্ট অনুমানের অধীনে, OLS এস্টিমেটরের একটি স্বাভাবিক asymptotic distribution থাকে যখন সঠিকভাবে নরমালাইজড এবং কেন্দ্রায়িত করা হয় (এমনকি যখন ডেটা স্বাভাবিক বিন্যাস থেকে আসে না)। এই ফলাফলটি একটি হাইপোথিসিস পরীক্ষা পরিচালনা করার সময় একটি স্বাভাবিক বিন্যাস বা একটি chi square distribution (টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক কীভাবে গণনা করা হয় তার ওপর নির্ভর করে) ব্যবহারের ন্যায্যতা প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়। এটি হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির অধীনেও সত্য। আরও স্পষ্টভাবে, হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির উপস্থিতিতে OLS এস্টিমেটর অ্যাসিম্পটোটিক্যালি স্বাভাবিক, যখন সঠিকভাবে নরমালাইজড এবং কেন্দ্রায়িত করা হয়, যার একটি ভেদাঙ্ক-সহভেদাঙ্ক ম্যাট্রিক্স থাকে যা হোমোস্কেডাস্টিসিটির ক্ষেত্রে ভিন্ন। ১৯৮০ সালে, হোয়াইট OLS এস্টিমেটরের অ্যাসিম্পটোটিক বিন্যাসের ভেদাঙ্ক-সহভেদাঙ্ক ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি consistent estimator প্রস্তাব করেন।^[2] এটি হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির অধীনে OLS এস্টিমেটর এবং হোয়াইটের ভেদাঙ্ক-সহভেদাঙ্ক এস্টিমেটর ব্যবহার করে হাইপোথিসিস পরীক্ষার বৈধতা প্রমাণ করে।

হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি ANOVA সমস্যাগুলোতেও একটি বড় ব্যবহারিক সমস্যা।^[10] F test কিছু পরিস্থিতিতে এখনও ব্যবহার করা যেতে পারে।^[11]

যাইহোক, বলা হয়েছে যে ইকোনোমেট্রিক্সের শিক্ষার্থীদের হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির প্রতি অতিরিক্ত প্রতিক্রিয়া দেখানো উচিত নয়।^[3] একজন লেখক লিখেছেন, "অসমান ত্রুটি ভেদাঙ্ক কেবল তখনই সংশোধন করা উচিত যখন সমস্যাটি গুরুতর হয়।"^[12] এছাড়াও, আরেকটি সতর্কবার্তা ছিল এই আকারে, "হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি অন্যথায় একটি ভালো মডেল ফেলে দেওয়ার কোনো কারণ হতে পারে না।"^[3]^[13] heteroscedasticity-consistent standard errors-এর আবির্ভাবের সাথে যা ত্রুটির শর্তসাপেক্ষ দ্বিতীয় মোমেন্ট নির্দিষ্ট না করেই অনুমানের অনুমতি দেয়, শর্তসাপেক্ষ হোমোস্কেডাস্টিসিটি পরীক্ষা করা অতীতের মতো গুরুত্বপূর্ণ নয়।^[6]

যেকোনো অ-রৈখিক মডেলের জন্য (উদাহরণস্বরূপ Logit এবং Probit মডেল), তবে, হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির আরও গুরুতর পরিণতি রয়েছে: প্যারামিটারগুলোর ম্যাক্সিমাম লাইকলিহুড এস্টিমেট (MLE) সাধারণত পক্ষপাতদুষ্ট হবে, পাশাপাশি অসামঞ্জস্যপূর্ণ হবে (যদি না লাইকলিহুড ফাংশনটি হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির সঠিক রূপটি সঠিকভাবে বিবেচনা করার জন্য সংশোধন করা হয় অথবা বিন্যাসটি লিনিয়ার এক্সপোনেনশিয়াল ফ্যামিলি-এর সদস্য হয় এবং শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা ফাংশনটি সঠিকভাবে নির্দিষ্ট করা হয়)।^[14]^[15] তবুও, বাইনারি চয়েস মডেলের (Logit বা Probit) প্রেক্ষাপটে, হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি কেবল মিসস্পেসিফাইড MLE-এর অ্যাসিম্পটোটিক গড়ের ওপর একটি ইতিবাচক স্কেলিং প্রভাব ফেলবে (অর্থাৎ যে মডেলটি হেটেরোস্কেডাস্টিসিটিকে উপেক্ষা করে)।^[16] ফলস্বরূপ, মিসস্পেসিফাইড MLE-এর ওপর ভিত্তি করে করা ভবিষ্যদ্বাণীগুলো সঠিক থাকবে। এছাড়াও, মিসস্পেসিফাইড Probit এবং Logit MLE অ্যাসিম্পটোটিক্যালি স্বাভাবিকভাবে বিন্যস্ত হবে যা সাধারণ তাৎপর্য পরীক্ষাগুলো সম্পাদন করার অনুমতি দেয় (উপযুক্ত ভেদাঙ্ক-সহভেদাঙ্ক ম্যাট্রিক্সের সাথে)। যাইহোক, সাধারণ হাইপোথিসিস পরীক্ষার বিষয়ে, গ্রিন যেমন উল্লেখ করেছেন, "অন্যথায় অসামঞ্জস্যপূর্ণ এস্টিমেটরের জন্য কেবল একটি শক্তিশালী কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স গণনা করা এটিকে মুক্তি দেয় না। ফলস্বরূপ, এই সেটিংয়ে একটি শক্তিশালী কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের গুণাবলী অস্পষ্ট।"^[17]

সংশোধন

হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির জন্য বেশ কয়েকটি সাধারণ সংশোধন রয়েছে। সেগুলো হলো:

ডেটার একটি স্থিতিশীল রূপান্তর, যেমন লগারিদমিক ডেটা। অ-লগারিদমিক সিরিজ যা সূচকীয়ভাবে বৃদ্ধি পায় তা প্রায়শই সময়ের সাথে সাথে বাড়তে থাকা পরিবর্তনশীলতা প্রদর্শন করে। শতাংশের দিক থেকে পরিবর্তনশীলতা, তবে, বেশ স্থিতিশীল হতে পারে।
মডেলের জন্য একটি ভিন্ন স্পেসিফিকেশন ব্যবহার করুন (ভিন্ন X চলক, অথবা সম্ভবত X চলকের অ-রৈখিক রূপান্তর)।
একটি weighted least squares এস্টিমেশন পদ্ধতি প্রয়োগ করুন, যেখানে OLS X এবং Y-এর রূপান্তরিত বা ওজনযুক্ত মানের ওপর প্রয়োগ করা হয়। ওজনগুলো পর্যবেক্ষণের ওপর পরিবর্তিত হয়, সাধারণত পরিবর্তনশীল ত্রুটি ভেদাঙ্কের ওপর নির্ভর করে। একটি প্রকরণে ওজনগুলো সরাসরি নির্ভরশীল চলকের পরিমাণের সাথে সম্পর্কিত, এবং এটি লিনিয়ার রিগ্রেশন শতাংশের সাথে মিলে যায়।^[18]
Heteroscedasticity-consistent standard errors (HCSE), যদিও এখনও পক্ষপাতদুষ্ট, OLS অনুমানগুলোর ওপর উন্নতি করে।^[2] HCSE হলো হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি সহ রিগ্রেশন মডেলগুলোতে স্ট্যান্ডার্ড এররের একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এস্টিমেটর। এই পদ্ধতিটি সহগগুলোর মান পরিবর্তন না করেই হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির জন্য সংশোধন করে। এই পদ্ধতিটি নিয়মিত OLS-এর চেয়ে উন্নত হতে পারে কারণ যদি হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি উপস্থিত থাকে তবে এটি তার জন্য সংশোধন করে, তবে যদি ডেটা হোমোস্কেডাস্টিস্টিক হয়, তবে স্ট্যান্ডার্ড এররগুলো OLS দ্বারা আনুমানিক প্রচলিত স্ট্যান্ডার্ড এররের সমতুল্য। হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি-সামঞ্জস্যপূর্ণ স্ট্যান্ডার্ড এরর গণনার হোয়াইট পদ্ধতির বেশ কয়েকটি পরিবর্তন উচ্চতর সসীম নমুনা বৈশিষ্ট্য সহ সংশোধন হিসেবে প্রস্তাব করা হয়েছে।
Wild bootstrapping একটি রিস্যাম্পলিং পদ্ধতি হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে যা ত্রুটি পদের শর্তসাপেক্ষ ভেদাঙ্কের পার্থক্যগুলোকে সম্মান করে। একটি বিকল্প হলো ত্রুটির পরিবর্তে পর্যবেক্ষণগুলো রিস্যাম্পল করা। মনে রাখবেন পর্যবেক্ষণের অনুমোদিত মানগুলোর প্রতি সম্মান না রেখে ত্রুটিগুলো রিস্যাম্পল করা হোমোস্কেডাস্টিসিটিকে প্রয়োগ করে এবং এইভাবে ভুল অনুমান প্রদান করে।
MINQUE বা এমনকি প্রচলিত এস্টিমেটরগুলো ব্যবহার করুন $s_{i}^{2} = (n_{i} - 1)^{- 1} \sum_{j} {(y_{i j} - {\bar{y}}_{i})}^{2}$ (প্রতিটি $j = 1, 2, . . ., n_{i}$ পর্যবেক্ষণ সহ $i = 1, 2, . . ., k$ স্বাধীন নমুনার জন্য), যার দক্ষতা হ্রাস উল্লেখযোগ্য নয় যখন প্রতি নমুনার পর্যবেক্ষণের সংখ্যা বড় ( $n_{i} > 5$ ), বিশেষ করে স্বাধীন নমুনার ছোট সংখ্যার জন্য।^[19]

পরীক্ষা

রেসিডুয়ালগুলো Breusch–Pagan test ব্যবহার করে হোমোস্কেডাস্টিসিটির জন্য পরীক্ষা করা যেতে পারে,^[20] যা স্বাধীন চলকগুলোর ওপর বর্গাকার রেসিডুয়ালগুলোর একটি সহায়ক রিগ্রেশন সম্পাদন করে। এই সহায়ক রিগ্রেশন থেকে, ব্যাখ্যা করা ভেদাঙ্কের সমষ্টি রাখা হয়, দুই দ্বারা ভাগ করা হয়, এবং তারপর স্বাধীন চলকের সংখ্যার সমান স্বাধীনতার মাত্রা সহ একটি কাই-স্কয়ার বিন্যাসের জন্য টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক হয়ে ওঠে।^[21] এই কাই-স্কয়ার পরীক্ষার নাল হাইপোথিসিস হলো হোমোস্কেডাস্টিসিটি, এবং বিকল্প হাইপোথিসিস হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি নির্দেশ করবে। যেহেতু ব্রুশ-পাগান পরীক্ষা স্বাভাবিকতা বা ছোট নমুনার আকার থেকে বিচ্যুতিতে সংবেদনশীল, তাই কোয়েঙ্কার-ব্যাসেট বা 'জেনারালাইজড ব্রুশ-পাগান' পরীক্ষা সাধারণত পরিবর্তে ব্যবহৃত হয়।^[22]November 2020 সহায়ক রিগ্রেশন থেকে, এটি R-স্কয়ার মান ধরে রাখে যা তারপর নমুনার আকার দ্বারা গুণ করা হয়, এবং তারপর একটি কাই-স্কয়ার বিন্যাসের জন্য টেস্ট স্ট্যাটিস্টিক হয়ে ওঠে (এবং একই স্বাধীনতার মাত্রা ব্যবহার করে)। যদিও কোয়েঙ্কার-ব্যাসেট পরীক্ষার জন্য এটি প্রয়োজনীয় নয়, ব্রুশ-পাগান পরীক্ষার জন্য প্রয়োজন যে বর্গাকার রেসিডুয়ালগুলোকেও রেসিডুয়াল ভেদাঙ্কের সমষ্টিকে নমুনার আকার দ্বারা ভাগ করে ভাগ করতে হবে।^[22] গ্রুপওয়াইজ হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির জন্য পরীক্ষা Goldfeld–Quandt test দিয়ে করা যেতে পারে।^[23]

হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি-সামঞ্জস্যপূর্ণ স্ট্যান্ডার্ড এরর-এর আদর্শ ব্যবহার এবং Pre-test সমস্যার কারণে, ইকোনোমেট্রিশিয়ানরা আজকাল শর্তসাপেক্ষ হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির জন্য খুব কমই পরীক্ষা ব্যবহার করেন।^[6]

পরীক্ষার তালিকা

যদিও গ্রুপগুলোর মধ্যে হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির পরীক্ষাগুলো আনুষ্ঠানিকভাবে রিগ্রেশন মডেলের মধ্যে পরীক্ষার একটি বিশেষ ক্ষেত্র হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে, কিছু পরীক্ষার এই ক্ষেত্রের জন্য নির্দিষ্ট কাঠামো রয়েছে।

রিগ্রেশনে পরীক্ষা

গ্রুপবদ্ধ ডেটার জন্য পরীক্ষা

সাধারণীকরণ

হোমোস্কেডাস্টিস্টিক বিন্যাস

দুই বা ততোধিক স্বাভাবিক বিন্যাস, $N (μ_{1}, Σ_{1}), N (μ_{2}, Σ_{2}),$ উভয়ই হোমোস্কেডাস্টিস্টিক এবং সিরিয়াল কোরিলেশন-এর অভাব রয়েছে যদি তারা তাদের কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সে একই কর্ণ ভাগ করে, $Σ_{1} i i = Σ_{2} j j, \forall i = j .$ এবং তাদের অ-কর্ণ এন্ট্রিগুলো শূন্য হয়। হোমোস্কেডাস্টিস্টিক বিন্যাসগুলো পরিসংখ্যানগত প্যাটার্ন স্বীকৃতি এবং মেশিন লার্নিং অ্যালগরিদম আহরণের জন্য বিশেষভাবে কার্যকর। হোমোস্কেডাস্টিসিটি অনুমান করে এমন একটি জনপ্রিয় অ্যালগরিদমের উদাহরণ হলো ফিশারের linear discriminant analysis। হোমোস্কেডাস্টিসিটির ধারণাটি গোলকের ওপর বিন্যাসে প্রয়োগ করা যেতে পারে।^[27]

মাল্টিভ্যারিয়েট ডেটা

হোমোস্কেডাস্টিসিটি এবং হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির অধ্যয়ন মাল্টিভ্যারিয়েট ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা হয়েছে, যা স্কেলার পর্যবেক্ষণের ভেদাঙ্কের পরিবর্তে ভেক্টর পর্যবেক্ষণের কোভ্যারিয়েন্স নিয়ে কাজ করে। এর একটি সংস্করণ হলো বিচ্ছুরণের মাল্টিভ্যারিয়েট পরিমাপ হিসেবে কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করা। বেশ কয়েকজন লেখক রিগ্রেশন এবং গ্রুপবদ্ধ-ডেটা উভয় পরিস্থিতির জন্য এই প্রেক্ষাপটে পরীক্ষা বিবেচনা করেছেন।^[28]^[29] গ্রুপবদ্ধ ডেটার মধ্যে হেটেরোস্কেডাস্টিসিটির জন্য Bartlett's test, যা ইউনিভ্যারিয়েট ক্ষেত্রে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়, তা মাল্টিভ্যারিয়েট ক্ষেত্রের জন্যও প্রসারিত হয়েছে, কিন্তু একটি সমাধান কেবল ২টি গ্রুপের জন্য বিদ্যমান।^[30] দুইটির বেশি গ্রুপের জন্য অনুমান বিদ্যমান, এবং উভয়কেই Box's M test বলা হয়।

আরও দেখুন

নোট

তথ্যসূত্র

↑ শব্দটির গ্রিক ব্যুৎপত্তির জন্য দেখুন McCulloch, J. Huston. (1985). "On Heteros*edasticity". Econometrica. 53 (2) 483.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 White, Halbert. (1980). "A heteroskedasticity-consistent covariance matrix estimator and a direct test for heteroskedasticity". Econometrica. 48 (4) 817–838. doi:10.2307/1912934.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 (2009). "Basic Econometrics". 400. McGraw-Hill Irwin. ISBN 9780073375779.
↑ Goldberger, Arthur S.. (1964). Econometric Theory. 238–243. John Wiley & Sons. ISBN 9780471311010.
↑ Johnston, J.. (1972). "Econometric Methods". 214–221. McGraw-Hill.
↑ ^6.0 ^6.1 ^6.2 Angrist, Joshua D.; Pischke, Jörn-Steffen. (2009-12-31). "Mostly Harmless Econometrics: An Empiricist's Companion". Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-2982-8. doi:10.1515/9781400829828.
↑ (1993). "Testing Structural Equation Models". 66–110. Sage. ISBN 978-0-8039-4506-7.
↑ Engle, Robert F.. (July 1982). "Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation". Econometrica. 50 (4) 987–1007. doi:10.2307/1912773.
↑ Peter Kennedy, A Guide to Econometrics, 5th edition, p. 137.
↑ (1998). "Size performance of some tests in one-way anova". Communications in Statistics - Simulation and Computation. 27 (3) 625. doi:10.1080/03610919808813500.
↑ Bathke, A. (2004). "The ANOVA F test can still be used in some balanced designs with unequal variances and nonnormal data". Journal of Statistical Planning and Inference. 126 (2) 413–422. doi:10.1016/j.jspi.2003.09.010.
↑ Fox, J.. (1997). "Applied Regression Analysis, Linear Models, and Related Methods". 306. Sage Publications. (Cited in Gujarati et al. 2009, p. 400)
↑ Mankiw, N. G.. (1990). "A Quick Refresher Course in Macroeconomics". Journal of Economic Literature. 28 (4) 1645–1660 [p. 1648]. doi:10.3386/w3256.
↑ Giles, Dave. (May 8, 2013). Robust Standard Errors for Nonlinear Models. Econometrics Beat.
↑ Gourieroux, C.; Monfort, A.; Trognon, A.. (1984). Pseudo Maximum Likelihood Methods: Theory. Econometrica. 52 (3) 681–700. doi:10.2307/1913471.
↑ (2017). "Robustness of binary choice models to conditional heteroscedasticity". Economics Letters. 150 130–134. doi:10.1016/j.econlet.2016.11.024.
↑ Greene, William H.. (2012). Econometric Analysis. 730–755 [p. 733]. Pearson Education. ISBN 978-0-273-75356-8.
↑ Tofallis, C. (2008). Least Squares Percentage Regression. Journal of Modern Applied Statistical Methods. 7 526–534. doi:10.2139/ssrn.1406472.
↑ J. N. K. Rao. (March 1973). "On the Estimation of Heteroscedastic Variances". Biometrics. 29 (1) 11–24. doi:10.2307/2529672.
↑ (1979). A Simple Test for Heteroscedasticity and Random Coefficient Variation. Econometrica. 47 (5) 1287–1294. doi:10.2307/1911963.
↑ Ullah, Muhammad Imdad. (2012-07-26). Breusch Pagan Test for Heteroscedasticity. Basic Statistics and Data Analysis.
↑ ^22.0 ^22.1 Heteroscedasticity: Testing and Correcting in SPSS. 12–18.
↑ Baum, Christopher F.. (2006). "Stata Tip 38: Testing for Groupwise Heteroskedasticity". The Stata Journal: Promoting Communications on Statistics and Stata. 6 (4) 590–592. doi:10.1177/1536867X0600600412.
↑ R. E. Park. (1966). "Estimation with Heteroscedastic Error Terms". Econometrica. 34 (4) 888. doi:10.2307/1910108.
↑ Glejser, H.. (1969). "A new test for heteroscedasticity". Journal of the American Statistical Association. 64 (325) 316–323. doi:10.1080/01621459.1969.10500976.
↑ (2000). "Glejser's test revisited". Journal of Econometrics. 97 (1) 189–202. doi:10.1016/S0304-4076(00)00016-6.
↑ Hamsici, Onur C.; Martinez, Aleix M. (2007) "Spherical-Homoscedastic Distributions: The Equivalency of Spherical and Normal Distributions in Classification", Journal of Machine Learning Research, 8, 1583-1623
↑ (2004). "Testing for multivariate heteroscedasticity". Journal of Statistical Computation and Simulation. 74 (12) 879. doi:10.1080/00949650410001646979.
↑ (1984). "Distribution of likelihood ratio statistic for testing equality of covariance matrices of multivariate Gaussian models". Biometrika. 71 (3) 555–559. doi:10.1093/biomet/71.3.555.
↑ (2005). "Encyclopedia of Biostatistics". ISBN 978-0470849071. doi:10.1002/0470011815.b2a13048.

বহিঃসংযোগ

TfuqBxRgRTU&list=PLD15D38DC7AA3B737&index=3#t=47s Mark Thoma দ্বারা

ja:ARCHモデル#分散不均一性

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Homoscedasticity and heteroscedasticity” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Homoscedasticity_and_heteroscedasticity এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।
Cite error: <ref> tags exist for a group named "note", but no corresponding <references group="note"/> tag was found

[2] শব্দটির গ্রিক ব্যুৎপত্তির জন্য দেখুন McCulloch, J. Huston. (1985). "On Heteros*edasticity". Econometrica. 53 (2) 483.

[White-3] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 White, Halbert. (1980). "A heteroskedasticity-consistent covariance matrix estimator and a direct test for heteroskedasticity". Econometrica. 48 (4) 817–838. doi:10.2307/1912934.

[Gujarati-4] 3.0 ^3.1 ^3.2 (2009). "Basic Econometrics". 400. McGraw-Hill Irwin. ISBN 9780073375779.

[5] Goldberger, Arthur S.. (1964). Econometric Theory. 238–243. John Wiley & Sons. ISBN 9780471311010.

[6] Johnston, J.. (1972). "Econometric Methods". 214–221. McGraw-Hill.

[:0-7] 6.0 ^6.1 ^6.2 Angrist, Joshua D.; Pischke, Jörn-Steffen. (2009-12-31). "Mostly Harmless Econometrics: An Empiricist's Companion". Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-2982-8. doi:10.1515/9781400829828.

[8] (1993). "Testing Structural Equation Models". 66–110. Sage. ISBN 978-0-8039-4506-7.

[9] Engle, Robert F.. (July 1982). "Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation". Econometrica. 50 (4) 987–1007. doi:10.2307/1912773.

[10] Peter Kennedy, A Guide to Econometrics, 5th edition, p. 137.

[11] (1998). "Size performance of some tests in one-way anova". Communications in Statistics - Simulation and Computation. 27 (3) 625. doi:10.1080/03610919808813500.

[12] Bathke, A. (2004). "The ANOVA F test can still be used in some balanced designs with unequal variances and nonnormal data". Journal of Statistical Planning and Inference. 126 (2) 413–422. doi:10.1016/j.jspi.2003.09.010.

[13] Fox, J.. (1997). "Applied Regression Analysis, Linear Models, and Related Methods". 306. Sage Publications. (Cited in Gujarati et al. 2009, p. 400)

[14] Mankiw, N. G.. (1990). "A Quick Refresher Course in Macroeconomics". Journal of Economic Literature. 28 (4) 1645–1660 [p. 1648]. doi:10.3386/w3256.

[15] Giles, Dave. (May 8, 2013). Robust Standard Errors for Nonlinear Models. Econometrics Beat.

[16] Gourieroux, C.; Monfort, A.; Trognon, A.. (1984). Pseudo Maximum Likelihood Methods: Theory. Econometrica. 52 (3) 681–700. doi:10.2307/1913471.

[17] (2017). "Robustness of binary choice models to conditional heteroscedasticity". Economics Letters. 150 130–134. doi:10.1016/j.econlet.2016.11.024.

[18] Greene, William H.. (2012). Econometric Analysis. 730–755 [p. 733]. Pearson Education. ISBN 978-0-273-75356-8.

[19] Tofallis, C. (2008). Least Squares Percentage Regression. Journal of Modern Applied Statistical Methods. 7 526–534. doi:10.2139/ssrn.1406472.

[20] J. N. K. Rao. (March 1973). "On the Estimation of Heteroscedastic Variances". Biometrics. 29 (1) 11–24. doi:10.2307/2529672.

[21] (1979). A Simple Test for Heteroscedasticity and Random Coefficient Variation. Econometrica. 47 (5) 1287–1294. doi:10.2307/1911963.

[22] Ullah, Muhammad Imdad. (2012-07-26). Breusch Pagan Test for Heteroscedasticity. Basic Statistics and Data Analysis.

[:1-23] 22.0 ^22.1 Heteroscedasticity: Testing and Correcting in SPSS. 12–18.

[24] Baum, Christopher F.. (2006). "Stata Tip 38: Testing for Groupwise Heteroskedasticity". The Stata Journal: Promoting Communications on Statistics and Stata. 6 (4) 590–592. doi:10.1177/1536867X0600600412.

[25] R. E. Park. (1966). "Estimation with Heteroscedastic Error Terms". Econometrica. 34 (4) 888. doi:10.2307/1910108.

[26] Glejser, H.. (1969). "A new test for heteroscedasticity". Journal of the American Statistical Association. 64 (325) 316–323. doi:10.1080/01621459.1969.10500976.

[27] (2000). "Glejser's test revisited". Journal of Econometrics. 97 (1) 189–202. doi:10.1016/S0304-4076(00)00016-6.

[28] Hamsici, Onur C.; Martinez, Aleix M. (2007) "Spherical-Homoscedastic Distributions: The Equivalency of Spherical and Normal Distributions in Classification", Journal of Machine Learning Research, 8, 1583-1623

[29] (2004). "Testing for multivariate heteroscedasticity". Journal of Statistical Computation and Simulation. 74 (12) 879. doi:10.1080/00949650410001646979.

[30] (1984). "Distribution of likelihood ratio statistic for testing equality of covariance matrices of multivariate Gaussian models". Biometrika. 71 (3) 555–559. doi:10.1093/biomet/71.3.555.

[31] (2005). "Encyclopedia of Biostatistics". ISBN 978-0470849071. doi:10.1002/0470011815.b2a13048.

[note 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

Anonymous

Search

হোমোস্কেডাস্টিসিটি এবং হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি

Namespaces

More

Page actions

Contents

সংজ্ঞা

উদাহরণ

ফলাফল

সংশোধন

পরীক্ষা

পরীক্ষার তালিকা

সাধারণীকরণ

হোমোস্কেডাস্টিস্টিক বিন্যাস

মাল্টিভ্যারিয়েট ডেটা

আরও দেখুন

নোট

তথ্যসূত্র

আরও পড়ুন

বহিঃসংযোগ

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

হোমোস্কেডাস্টিসিটি এবং হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি

সংজ্ঞা

উদাহরণ

ফলাফল

সংশোধন

পরীক্ষা

পরীক্ষার তালিকা

সাধারণীকরণ

হোমোস্কেডাস্টিস্টিক বিন্যাস

মাল্টিভ্যারিয়েট ডেটা

আরও দেখুন

নোট

তথ্যসূত্র

আরও পড়ুন

বহিঃসংযোগ

Navigation

Wiki tools

Page tools

Categories