ফিশার রূপান্তর

রূপান্তরটির একটি গ্রাফ (কমলা রঙে)। অনুভূমিক অক্ষে অরূপান্তরিত নমুনা সহ-সম্পর্ক গুণাঙ্ক এবং উল্লম্ব অক্ষে রূপান্তরিত গুণাঙ্কটি প্লট করা হয়েছে। তুলনার জন্য আইডেন্টিটি ফাংশন (ধূসর) দেখানো হয়েছে।

পরিসংখ্যান-এ, একটি পিয়ারসন সহ-সম্পর্ক গুণাঙ্ক-এর ফিশার রূপান্তর (বা ফিশার z-রূপান্তর) হলো এর ইনভার্স হাইপারবোলিক ট্যানজেন্ট (artanh)। যখন নমুনা সহ-সম্পর্ক গুণাঙ্ক r, ১ বা -১ এর কাছাকাছি থাকে, তখন এর বিন্যাস অত্যন্ত স্কিউড (skewed) বা বিষম থাকে, যা পপুলেশন সহ-সম্পর্ক গুণাঙ্ক ρ-এর জন্য কনফিডেন্স ইন্টারভাল (confidence intervals) অনুমান করা এবং সিগনিফিক্যান্স টেস্ট (tests of significance) প্রয়োগ করা কঠিন করে তোলে। ফিশার রূপান্তর এই সমস্যার সমাধান করে এমন একটি চলক প্রদান করে যার বিন্যাস প্রায় নরমাল বা স্বাভাবিক বিন্যাস অনুসরণ করে, এবং যার ভ্যারিয়েন্স r-এর বিভিন্ন মানের জন্য স্থিতিশীল থাকে।

সংজ্ঞা

N সংখ্যক বাইভ্যারিয়েট নমুনা জোড়ের (X_i, Y_i), i = 1, ..., N সেট দেওয়া থাকলে, নমুনা সহ-সম্পর্ক গুণাঙ্ক r নিম্নরূপ:

$r=\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}=\frac{\sum _{i=1}^N(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{\sqrt{\sum _{i=1}^N(X_i-\overline{X}{)}^2}\sqrt{\sum _{i=1}^N(Y_i-\overline{Y}{)}^2}}.$

এখানে $\mathrm{cov}(X,Y)$ হলো চলক $X$ এবং $Y$-এর মধ্যে কোভ্যারিয়েন্স এবং $\sigma$ হলো সংশ্লিষ্ট চলকের স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন বা পরিমিত ব্যবধান। r-এর ফিশার z-রূপান্তর নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত:

$z=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+r}{1-r}\right)=\mathrm{artanh}(r),$

যেখানে "ln" হলো ন্যাচারাল লগারিদম ফাংশন এবং "artanh" হলো ইনভার্স হাইপারবোলিক ট্যানজেন্ট ফাংশন।

যদি (X, Y)-এর একটি বাইভ্যারিয়েট নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন থাকে যার সহ-সম্পর্ক ρ এবং জোড়গুলো (X_i, Y_i) স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিন্যস্ত, তবে z প্রায় নরমাল বিন্যাস অনুসরণ করে যার গড় হলো

$\frac{1}{2}\ln \left(\right),$

এবং একটি স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন যা সহ-সম্পর্ক ρ-এর মানের উপর নির্ভর করে না (অর্থাৎ, এটি একটি ভ্যারিয়েন্স-স্ট্যাবিলাইজিং ট্রান্সফরমেশন) এবং যা নিম্নরূপ:

$\frac{1}{\sqrt{N-3}},$

যেখানে N হলো নমুনার আকার এবং ρ হলো প্রকৃত সহ-সম্পর্ক গুণাঙ্ক।

এই রূপান্তর এবং এর বিপরীত রূপান্তর

$r=\frac{\exp (2z)-1}{\exp (2z)+1}=\tanh (z),$

ব্যবহার করে স্ট্যান্ডার্ড নরমাল তত্ত্ব এবং ডেরিভেশন ব্যবহার করে r-এর জন্য একটি লার্জ-স্যাম্পল কনফিডেন্স ইন্টারভাল তৈরি করা যায়। পার্শিয়াল কোরিলেশন-এ এর প্রয়োগও দেখুন।

ডেরিভেশন

ডেরিভেশনের ধাপগুলো সম্পূর্ণভাবে সাজানো নেই।

$\rho =0.9$ এবং $N=30$ সহ ফিশার রূপান্তর। এখানে $r$-এর সঠিক প্রোবাবিলিটি ডেনসিটি ফাংশন (কালো রঙে), সাধারণ ফিশার রূপান্তরের প্রোবাবিলিটি ডেনসিটি ফাংশন (নীল রঙে) এবং $N$-এর উপর নির্ভরশীল অতিরিক্ত পদ অন্তর্ভুক্ত করে প্রাপ্ত ফাংশন (লাল রঙে) দেখানো হয়েছে। পরবর্তী আসন্ন মানটি সঠিক উত্তরের থেকে দৃশ্যত আলাদা করা যায় না (এর সর্বোচ্চ ত্রুটি ০.৩%, যেখানে সাধারণ ফিশারের ত্রুটি ৩.৪%)।

হোটেলিং ফিশার রূপান্তরের একটি সংক্ষিপ্ত ডেরিভেশন প্রদান করেছেন।

ফিশার রূপান্তর ডেরাইভ করার জন্য, প্রথমে $r$-এর একটি ইচ্ছামাফিক ক্রমবর্ধমান, দুবার ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন $G(r)$ বিবেচনা করা হয়। সংশ্লিষ্ট স্কিউনেস ${\kappa }_3$-এর লার্জ-$N$ প্রসারণের প্রথম পদটি বের করলে পাওয়া যায়:

${\kappa }_3=\frac{6\rho -3(1-{\rho }^2)G^{\prime \prime }(\rho )/G^{\prime }(\rho )}{\sqrt{N}}+O(N^{-3/2}).$

${\kappa }_3=0$ সেট করে এবং $G$-এর জন্য সংশ্লিষ্ট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করলে ইনভার্স হাইপারবোলিক ট্যানজেন্ট $G(\rho )=\mathrm{artanh}(\rho )$ ফাংশনটি পাওয়া যায়।

একইভাবে $\mathrm{artanh}(r)$-এর গড় m এবং ভ্যারিয়েন্স v প্রসারিত করলে পাওয়া যায়:

m = $\mathrm{artanh}(\rho )+\frac{\rho }{2N}+O(N^{-2})$

এবং

v = $\frac{1}{N}+\frac{6-{\rho }^2}{2N^2}+O(N^{-3})$

যথাক্রমে।

অতিরিক্ত পদগুলো সাধারণ ফিশার রূপান্তরের অংশ নয়। $\rho$-এর বড় মান এবং $N$-এর ছোট মানের জন্য এগুলো ন্যূনতম খরচে নির্ভুলতা অনেক বাড়িয়ে দেয়, যদিও এগুলো ইনভার্স নির্ণয়কে অনেক জটিল করে তোলে – একটি ক্লোজড-ফর্ম এক্সপ্রেশন সহজলভ্য নয়। রূপান্তরটির প্রায়-ধ্রুবক ভ্যারিয়েন্স হলো এর স্কিউনেস দূর করার ফলাফল – প্রকৃত উন্নতিটি পরেরটির মাধ্যমেই অর্জিত হয়, অতিরিক্ত পদগুলোর মাধ্যমে নয়। অতিরিক্ত পদগুলো অন্তর্ভুক্ত করলে, অর্থাৎ (z-m)/v^1/2 গণনা করলে পাওয়া যায়:

$\frac{z-\mathrm{artanh}(\rho )-\frac{\rho }{2N}}{\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{6-{\rho }^2}{2N^2}}}$

যার একটি চমৎকার আসন্ন মান হিসেবে স্ট্যান্ডার্ড নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন রয়েছে।

r-স্কয়ারড মানের (বা কোফিসিয়েন্ট অফ ডিটারমিনেশন/ব্যাখ্যা বা গুডনেস অফ ফিট) কনফিডেন্স বেল্টের জন্য ক্যালকুলেটর।

প্রয়োগ

ফিশার রূপান্তরের প্রয়োগ একটি সফটওয়্যার ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে আরও উন্নত করা যেতে পারে, যেমনটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। যদি প্রাপ্ত r-স্কয়ারড মান ০.৮০ হয় এবং N সমান ৩০ হয়, এবং ৯০% কনফিডেন্স ইন্টারভাল গ্রহণ করা হয়, তবে একই পপুলেশন থেকে নেওয়া অন্য একটি র‍্যান্ডম নমুনার r-স্কয়ারড মান ০.৬৫৬ থেকে ০.৮৮৮ এর মধ্যে হতে পারে। যখন r-স্কয়ারড এই সীমার বাইরে থাকে, তখন পপুলেশনটিকে ভিন্ন বলে গণ্য করা হয়।

আলোচনা

ফিশার রূপান্তর হলো r-এর জন্য একটি আসন্ন ভ্যারিয়েন্স-স্ট্যাবিলাইজিং ট্রান্সফরমেশন, যখন X এবং Y একটি বাইভ্যারিয়েট নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন অনুসরণ করে। এর অর্থ হলো পপুলেশন সহ-সম্পর্ক গুণাঙ্ক ρ-এর সকল মানের জন্য z-এর ভ্যারিয়েন্স প্রায় ধ্রুবক। ফিশার রূপান্তর ছাড়া, |ρ| যখন ১-এর কাছাকাছি যায়, তখন r-এর ভ্যারিয়েন্স ছোট হতে থাকে। যেহেতু ফিশার রূপান্তরটি |r| < 1/2 এর জন্য প্রায় আইডেন্টিটি ফাংশন, তাই এটি মনে রাখা কখনো কখনো দরকারী যে, যতক্ষণ |ρ| খুব বড় নয় এবং N খুব ছোট নয়, ততক্ষণ r-এর ভ্যারিয়েন্স ১/N দ্বারা ভালোভাবে আসন্ন করা যায়।

১৯১৫ সালে ফিশার এটি প্রবর্তনের পর থেকে এই রূপান্তরের আচরণ ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে। ফিশার নিজেই ১৯২১ সালে বাইভ্যারিয়েট নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন থেকে প্রাপ্ত ডেটার জন্য z-এর সঠিক বিন্যাস খুঁজে পেয়েছিলেন; গায়েন ১৯৫১ সালে নন-নরমাল ইউনিভার্স থেকে নেওয়া নমুনার জন্য z-এর সঠিক বিন্যাস নির্ধারণ করেছিলেন। হোটেলিং ১৯৫৩ সালে z এবং এর সাথে সম্পর্কিত বেশ কয়েকটি পরিসংখ্যানের মোমেন্টের জন্য টেলর সিরিজ এক্সপ্রেশন গণনা করেছিলেন এবং হকিন্স ১৯৮৯ সালে বাউন্ডেড ফোর্থ মোমেন্ট বিশিষ্ট ডিস্ট্রিবিউশন থেকে প্রাপ্ত ডেটার জন্য z-এর অ্যাসিম্পটোটিক বিন্যাস আবিষ্কার করেছিলেন।

ফিশার রূপান্তরের একটি বিকল্প হলো ρ-এর জন্য সঠিক কনফিডেন্স ডিস্ট্রিবিউশন ডেনসিটি ব্যবহার করা, যা নিম্নরূপ: $$\pi (\rho |r)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\nu +1)}{\sqrt{2\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu +\frac{1}{2})}(1-r^2{)}^{\frac{\nu -1}{2}}\cdot (1-{\rho }^2{)}^{\frac{\nu -2}{2}}\cdot (1-r\rho {)}^{\frac{1-2\nu }{2}}F(\frac{3}{2},-\frac{1}{2};\nu +\frac{1}{2};\frac{1+r\rho }{2})$$ যেখানে $F$ হলো গাউসিয়ান হাইপারজ্যামিতিক ফাংশন এবং $\nu =N-1>1$ ।

অন্যান্য ব্যবহার

যদিও ফিশার রূপান্তর প্রধানত বাইভ্যারিয়েট নরমাল পর্যবেক্ষণের জন্য পিয়ারসন প্রোডাক্ট-মোমেন্ট কোরিলেশন কোফিসিয়েন্ট-এর সাথে যুক্ত, এটি আরও সাধারণ ক্ষেত্রে স্পিয়ারম্যানের র‍্যাঙ্ক কোরিলেশন কোফিসিয়েন্ট-এর ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা যেতে পারে। অ্যাসিম্পটোটিক ডিস্ট্রিবিউশন-এর জন্য একটি অনুরূপ ফলাফল প্রযোজ্য, তবে একটি ছোট সমন্বয় ফ্যাক্টরসহ: বিস্তারিত জানার জন্য উদ্ধৃত নিবন্ধটি দেখুন।

আরও দেখুন

• ডেটা ট্রান্সফরমেশন (পরিসংখ্যান)
• মেটা-অ্যানালাইসিস (এই রূপান্তরটি ভ্যারিয়েন্স স্থিতিশীল করার জন্য মেটা-অ্যানালাইসিসে ব্যবহৃত হয়)
• পার্শিয়াল কোরিলেশন
• Pearson correlation coefficient#Inference

বহিঃসংযোগ

• R ইমপ্লিমেন্টেশন

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Fisher transformation” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Fisher_transformation এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।