পাওয়ার ট্রান্সফর্ম

পরিসংখ্যানশাস্ত্রে, একটি পাওয়ার ট্রান্সফর্ম (power transform) হলো এমন একগুচ্ছ ফাংশন, যা পাওয়ার ফাংশন ব্যবহার করে ডেটার মনোটোনিক রূপান্তর তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়। এটি একটি ডেটা রূপান্তর কৌশল, যা ভেদাঙ্ক স্থিতিশীল করতে, ডেটাকে আরও বেশি স্বাভাবিক বিন্যাস-এর মতো করে তুলতে, চলকগুলোর মধ্যে সম্পর্কের পরিমাপের (যেমন পিয়ারসন কোরিলেশন) বৈধতা উন্নত করতে এবং অন্যান্য ডেটা স্থিতিশীলকরণ প্রক্রিয়ার জন্য ব্যবহৃত হয়।

পাওয়ার ট্রান্সফর্মগুলো বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যার মধ্যে রয়েছে মাল্টি-রেজোলিউশন এবং ওয়েভলেট বিশ্লেষণ, পরিসংখ্যানগত ডেটা বিশ্লেষণ, চিকিৎসা গবেষণা, ভৌত প্রক্রিয়ার মডেলিং, জিওকেমিক্যাল ডেটা বিশ্লেষণ, মহামারীবিদ্যা এবং অন্যান্য অনেক ক্লিনিকাল, পরিবেশগত ও সামাজিক গবেষণার ক্ষেত্র।

সংজ্ঞা

পাওয়ার ট্রান্সফর্মেশনকে পাওয়ার প্যারামিটার λ-এর একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা সাধারণত এমন একটি পিস-ওয়াইজ আকারে দেওয়া হয় যাতে এটি সিঙ্গুলারিটি বিন্দুতে (λ = 0) অবিচ্ছিন্ন থাকে। ডেটা ভেক্টর (y₁,..., y_n)-এর জন্য, যেখানে প্রতিটি y_i > 0, পাওয়ার ট্রান্সফর্ম হলো:

$y_i^{(\lambda )}=\{\begin{array}{ll}\frac{y_i^{\lambda }-1}{\lambda (\mathrm{GM}(y){)}^{\lambda -1}},& \text{if }\lambda \ne 0\\ \mathrm{GM}(y)\ln y_i,& \text{if }\lambda =0\end{array}$

যেখানে

$\mathrm{GM}(y)={\left(\prod _{i=1}^n{y}_i\right)}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{y_1{y}_2\cdots y_n}$

হলো পর্যবেক্ষণসমূহ y₁, ..., y_n-এর জ্যামিতিক গড়। $\lambda =0$-এর ক্ষেত্রটি হলো $\lambda$-এর মান 0-এর দিকে অগ্রসর হওয়ার সীমা। এটি বোঝার জন্য, লক্ষ্য করুন যে টেইলর সিরিজ ব্যবহার করে $y_i^{\lambda }=\exp (\lambda \ln (y_i))=1+\lambda \ln (y_i)+O((\lambda \ln (y_i){)}^2)$। তাহলে $\frac{y_i^{\lambda }-1}{\lambda }=\ln (y_i)+O(\lambda )$, এবং $\lambda$ যথেষ্ট ছোট হলে $\ln (y_i)$ ব্যতীত সবকিছুই নগণ্য হয়ে যায়।

হর-এ জ্যামিতিক গড়ের (λ − 1)-তম ঘাত অন্তর্ভুক্ত করা $y_i^{(\lambda )}$ যুক্ত যেকোনো সমীকরণের বৈজ্ঞানিক ব্যাখ্যাকে সহজ করে, কারণ λ পরিবর্তিত হলেও পরিমাপের একক পরিবর্তিত হয় না।

বক্স এবং কক্স (১৯৬৪) এই রূপান্তরে জ্যামিতিক গড় প্রবর্তন করেন, প্রথমে রিস্কেল করা পাওয়ার ট্রান্সফর্মেশনের জ্যাকোবিয়ান অন্তর্ভুক্ত করে:

$\frac{y^{\lambda }-1}{\lambda }.$

লাইকলিহুডের সাথে। এই জ্যাকোবিয়ানটি নিম্নরূপ:

$J(\lambda ;y_1,\dots ,y_n)=\prod _{i=1}^n|d{y}_i^{(\lambda )}/dy|=\prod _{i=1}^n{y}_i^{\lambda -1}=\mathrm{GM}(y{)}^{n(\lambda -1)}$

এটি স্বাভাবিক সর্বোচ্চ লাইকলিহুড লগ লাইকলিহুডকে নিম্নরূপে লিখতে সাহায্য করে:

$\begin{array}{rl}\log ({ℒ}(\hat{\mu },\hat{\sigma }))& =(-n/2)(\log (2\pi {\hat{\sigma }}^2)+1)+n(\lambda -1)\log (\mathrm{GM}(y))\\ & =(-n/2)(\log (2\pi {\hat{\sigma }}^2/\mathrm{GM}(y{)}^{2(\lambda -1)})+1).\end{array}$

এখান থেকে, $\mathrm{GM}(y{)}^{2(\lambda -1)}$-কে ${\hat{\sigma }}^2$-এর অভিব্যক্তিতে অন্তর্ভুক্ত করলে এমন একটি অভিব্যক্তি তৈরি হয় যা প্রমাণ করে যে $y_i^{(\lambda )}$ থেকে রেসিডুয়ালগুলোর বর্গের সমষ্টি কমানো, $(y^{\lambda }-1)/\lambda$ থেকে বিচ্যুতিগুলোর স্বাভাবিক লগ লাইকলিহুড এবং রূপান্তরের লগ জ্যাকোবিয়ানের সমষ্টি বাড়ানোর সমতুল্য।

যেকোনো λ-এর জন্য Y = 1-এ মান হলো 0, এবং সেখানে Y-এর সাপেক্ষে অন্তরজ হলো 1। কখনও কখনও Y হলো অন্য কোনো চলকের একটি সংস্করণ যা কোনো গড় মানে Y = 1 দেওয়ার জন্য স্কেল করা হয়েছে।

এই রূপান্তরটি একটি পাওয়ার রূপান্তর, কিন্তু এটি এমনভাবে করা হয়েছে যাতে এটি λ = 0 বিন্দুতে প্যারামিটার λ-এর সাথে অবিচ্ছিন্ন থাকে। এটি রিগ্রেশন বিশ্লেষণ-এ, যার মধ্যে ইকোনোমেট্রিক্স অন্তর্ভুক্ত, জনপ্রিয় প্রমাণিত হয়েছে।

বক্স এবং কক্স রূপান্তরের একটি আরও সাধারণ রূপ প্রস্তাব করেছিলেন যা একটি শিফট প্যারামিটার অন্তর্ভুক্ত করে।

$\tau (y_i;\lambda ,\alpha )=\{\begin{array}{ll}\frac{(y_i+\alpha {)}^{\lambda }-1}{\lambda (\mathrm{GM}(y+\alpha ){)}^{\lambda -1}}& \text{if }\lambda \ne 0,\\ \\ \mathrm{GM}(y+\alpha )\ln (y_i+\alpha )& \text{if }\lambda =0,\end{array}$

যা সত্য হয় যদি সকল i-এর জন্য y_i + α > 0 হয়। যদি τ(Y, λ, α) একটি ট্রাঙ্কেট করা স্বাভাবিক বিন্যাস অনুসরণ করে, তবে বলা হয় যে Y একটি বক্স-কক্স বিন্যাস অনুসরণ করে।

বিকেল এবং ডকসাম রূপান্তরের পরিসরকে সমস্ত y-এর জন্য প্রসারিত করে ট্রাঙ্কেট করা বিন্যাস ব্যবহারের প্রয়োজনীয়তা দূর করেছেন, নিম্নরূপ:

$\tau (y_i;\lambda ,\alpha )=\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{sgn}(y_i+\alpha )|y_i+\alpha {|}^{\lambda }-1}{\lambda (\mathrm{GM}(y+\alpha ){)}^{\lambda -1}}& \text{if }\lambda \ne 0,\\ \\ \mathrm{GM}(y+\alpha )\mathrm{sgn}(y+\alpha )\ln (y_i+\alpha )& \text{if }\lambda =0,\end{array}$

যেখানে sgn(.) হলো চিহ্ন ফাংশন। সংজ্ঞার এই পরিবর্তনটির ব্যবহারিক গুরুত্ব খুব কম, যতক্ষণ না $\alpha$ মান $\min (y_i)$-এর চেয়ে কম থাকে, যা সাধারণত হয়ে থাকে।

বিকেল এবং ডকসাম আরও প্রমাণ করেছেন যে প্যারামিটার প্রাক্কলনগুলো উপযুক্ত নিয়মিত শর্তের অধীনে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং অ্যাসিম্পটোটিক্যালি স্বাভাবিক, যদিও প্যারামিটারের মান নয়েজ ভেদাঙ্কের তুলনায় ছোট হলে আদর্শ ক্র্যামার-রাও নিম্নসীমা ভেদাঙ্ককে উল্লেখযোগ্যভাবে কম মূল্যায়ন করতে পারে। তবে, ভেদাঙ্ক কম মূল্যায়নের এই সমস্যাটি অনেক প্রয়োগে খুব একটা গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা নাও হতে পারে।

বক্স-কক্স রূপান্তর

এক-প্যারামিটার বক্স-কক্স রূপান্তরগুলো নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

$y_i^{(\lambda )}=\{\begin{array}{ll}\frac{y_i^{\lambda }-1}{\lambda }& \text{if }\lambda \ne 0,\\ \ln y_i& \text{if }\lambda =0,\end{array}$

এবং দুই-প্যারামিটার বক্স-কক্স রূপান্তরগুলো নিম্নরূপে:

$y_i^{(\mathit{\lambda })}=\{\begin{array}{ll}\frac{(y_i+{\lambda }_2{)}^{{\lambda }_1}-1}{{\lambda }_1}& \text{if }{\lambda }_1\ne 0,\\ \ln (y_i+{\lambda }_2)& \text{if }{\lambda }_1=0,\end{array}$

যেমনটি মূল নিবন্ধে বর্ণিত হয়েছে। অধিকন্তু, প্রথম রূপান্তরগুলো $y_i>0$-এর জন্য এবং দ্বিতীয়টি $y_i>-{\lambda }_2$-এর জন্য কার্যকর।

প্যারামিটার $\lambda$-কে প্রোফাইল লাইকলিহুড ফাংশন এবং গুডনেস-অফ-ফিট টেস্ট ব্যবহার করে প্রাক্কলন করা হয়।

কনফিডেন্স ইন্টারভাল

বক্স-কক্স রূপান্তরের জন্য কনফিডেন্স ইন্টারভাল উইল্কস-এর উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রোফাইল লাইকলিহুড ফাংশনের ওপর অ্যাসিম্পটোটিক্যালি গঠন করা যেতে পারে, যাতে $\lambda$-এর সম্ভাব্য সকল মান খুঁজে পাওয়া যায় যা নিচের শর্ত পূরণ করে:

$\ln (L(\lambda ))\ge \ln (L(\hat{\lambda }))-\frac{1}{2}{{\chi }^2}_{1,1-\alpha }.$

উদাহরণ

BUPA লিভার ডেটাসেটটিতে লিভার এনজাইম ALT এবং γGT সংক্রান্ত ডেটা রয়েছে। ধরুন আমরা ALT-এর পূর্বাভাস দেওয়ার জন্য log(γGT) ব্যবহার করতে আগ্রহী। ডেটার একটি প্লট চিত্রের প্যানেল (a)-তে দেখা যাচ্ছে। সেখানে অ-ধ্রুবক ভেদাঙ্ক রয়েছে বলে মনে হয় এবং একটি বক্স-কক্স রূপান্তর সাহায্য করতে পারে।

পাওয়ার প্যারামিটারের লগ-লাইকলিহুড প্যানেল (b)-তে দেখা যাচ্ছে। অনুভূমিক রেফারেন্স লাইনটি সর্বোচ্চ মান থেকে χ₁²/2 দূরত্বে রয়েছে এবং এটি λ-এর জন্য একটি আনুমানিক ৯৫% কনফিডেন্স ইন্টারভাল নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। মনে হচ্ছে শূন্যের কাছাকাছি একটি মান ভালো হবে, তাই আমরা লগ নিই।

সম্ভবত, লগ রূপান্তরে একটি শিফট প্যারামিটার যোগ করে রূপান্তরটিকে উন্নত করা যেতে পারে। চিত্রের প্যানেল (c) লগ-লাইকলিহুড দেখায়। এই ক্ষেত্রে, লাইকলিহুডের সর্বোচ্চ মান শূন্যের কাছাকাছি, যা নির্দেশ করে যে একটি শিফট প্যারামিটারের প্রয়োজন নেই। চূড়ান্ত প্যানেলটি একটি সুপারইম্পোজড রিগ্রেশন লাইনসহ রূপান্তরিত ডেটা দেখায়।

লক্ষ্য করুন যে যদিও বক্স-কক্স রূপান্তর মডেল ফিটে বড় উন্নতি করতে পারে, তবে কিছু সমস্যা রয়েছে যা রূপান্তর সমাধান করতে পারে না। বর্তমান উদাহরণে, ডেটা বেশ হেভি-টেইলড, তাই স্বাভাবিকতার অনুমান বাস্তবসম্মত নয় এবং একটি রোবাস্ট রিগ্রেশন পদ্ধতি আরও সঠিক মডেল প্রদান করে।

ইকোনোমেট্রিক প্রয়োগ

অর্থনীতিবিদরা প্রায়শই বক্স-কক্স রূপান্তরের কোনো রূপান্তর ব্যবহার করে উৎপাদনের সম্পর্কগুলোকে বৈশিষ্ট্যমণ্ডিত করেন।

মূলধন স্টক K এবং শ্রম ঘণ্টা N দ্বারা প্রদত্ত পরিষেবার ওপর নির্ভরশীল উৎপাদন Q-এর একটি সাধারণ উপস্থাপনা বিবেচনা করুন:

$\tau (Q)=\alpha \tau (K)+(1-\alpha )\tau (N).$

বক্স-কক্স রূপান্তর উল্টে দিয়ে Q-এর মান বের করলে আমরা পাই:

$Q=(\alpha K^{\lambda }+(1-\alpha )N^{\lambda }{)}^{1/\lambda },$

যা কনস্ট্যান্ট ইলাস্টিসিটি অফ সাবস্টিটিউশন (CES) উৎপাদন ফাংশন হিসেবে পরিচিত।

CES উৎপাদন ফাংশনটি প্রথম মাত্রার একটি সমজাতীয় ফাংশন।

যখন λ = 1, এটি রৈখিক উৎপাদন ফাংশন তৈরি করে:

$Q=\alpha K+(1-\alpha )N.$

যখন λ → 0, এটি বিখ্যাত কব-ডগলাস উৎপাদন ফাংশন তৈরি করে:

$Q=K^{\alpha }{N}^{1-\alpha }.$

কার্যক্রম এবং প্রদর্শন

SOCR রিসোর্স পেজগুলোতে জাভা অ্যাপলেট এবং চার্ট ব্যবহার করে বক্স-কক্স (পাওয়ার) রূপান্তর প্রদর্শনকারী বেশ কিছু হাতে-কলমে ইন্টারেক্টিভ কার্যক্রম রয়েছে। এগুলো Q-Q প্লট, X–Y স্ক্যাটারপ্লট, টাইম-সিরিজ প্লট এবং হিস্টোগ্রাম-এর ওপর এই রূপান্তরের প্রভাব সরাসরি চিত্রিত করে।

ইয়েও-জনসন রূপান্তর

ইয়েও-জনসন রূপান্তর $y$-এর শূন্য এবং ঋণাত্মক মানের জন্যও অনুমতি দেয়। $\lambda$ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, যেখানে $\lambda =1$ আইডেন্টিটি রূপান্তর তৈরি করে। রূপান্তরের সূত্রটি নিম্নরূপ:

$y_i^{(\lambda )}=\{\begin{array}{ll}((y_i+1{)}^{\lambda }-1)/\lambda & \text{if }\lambda \ne 0,y\ge 0\\ \ln (y_i+1)& \text{if }\lambda =0,y\ge 0\\ -((-y_i+1{)}^{(2-\lambda )}-1)/(2-\lambda )& \text{if }\lambda \ne 2,y<0\\ -\ln (-y_i+1)& \text{if }\lambda =2,y<0\end{array}$

বক্স-টিডওয়েল রূপান্তর

বক্স-টিডওয়েল রূপান্তর হলো একটি পরিসংখ্যানগত কৌশল যা জেনারালাইজড লিনিয়ার মডেল-এ, বিশেষ করে লজিস্টিক রিগ্রেশন-এ, প্রেডিক্টর চলক এবং লজিট-এর মধ্যে অ-রৈখিকতা মূল্যায়ন ও সংশোধন করতে ব্যবহৃত হয়। এই রূপান্তরটি তখন কার্যকর হয় যখন স্বাধীন চলক এবং ফলাফলের মধ্যে সম্পর্ক অ-রৈখিক হয় এবং তা আদর্শ মডেল দ্বারা পর্যাপ্তভাবে ধরা যায় না।

ওভারভিউ

বক্স-টিডওয়েল রূপান্তরটি ১৯৬২ সালে George E. P. Box এবং পল ডব্লিউ. টিডওয়েল কর্তৃক বক্স-কক্স রূপান্তর-এর একটি সম্প্রসারণ হিসেবে তৈরি হয়েছিল, যা নির্ভরশীল চলকের ওপর প্রয়োগ করা হয়। তবে, বক্স-কক্স রূপান্তরের বিপরীতে, বক্স-টিডওয়েল রূপান্তর রিগ্রেশন মডেলের স্বাধীন চলকগুলোর ওপর প্রয়োগ করা হয়। এটি প্রায়শই তখন ব্যবহৃত হয় যখন প্রেডিক্টর এবং ফলাফলের মধ্যে রৈখিকতার অনুমান লঙ্ঘিত হয়।

পদ্ধতি

বক্স-টিডওয়েল রূপান্তরের পেছনের সাধারণ ধারণাটি হলো রিগ্রেশন মডেলের প্রতিটি স্বাধীন চলক Xi-এর ওপর একটি পাওয়ার রূপান্তর প্রয়োগ করা:

${X_i}^{\prime }=X_i^{\lambda }$

যেখানে $\lambda$ হলো ডেটা থেকে প্রাক্কলন করা প্যারামিটার। যদি বক্স-টিডওয়েল রূপান্তর ১ থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন হয়, তবে এটি Xi এবং লজিটের মধ্যে একটি অ-রৈখিক সম্পর্ক নির্দেশ করে এবং রূপান্তরটি মডেল ফিট উন্নত করে।

বক্স-টিডওয়েল টেস্টটি সাধারণত রিগ্রেশন মডেলকে $X_i\log (X_i)$-এর মতো টার্ম দিয়ে বর্ধিত করে এবং সহগগুলোর তাৎপর্য পরীক্ষা করে সম্পন্ন করা হয়। যদি তাৎপর্যপূর্ণ হয়, তবে এটি নির্দেশ করে যে প্রেডিক্টর এবং লজিটের মধ্যে রৈখিক সম্পর্ক অর্জনের জন্য একটি রূপান্তর প্রয়োগ করা উচিত।

প্রয়োগ

অবিচ্ছিন্ন প্রেডিক্টর স্থিতিশীল করা

এই রূপান্তরটি লজিস্টিক রিগ্রেশন বা প্রোপোরশনাল হ্যাজার্ডস মডেল-এ উপকারী, যেখানে অবিচ্ছিন্ন প্রেডিক্টরগুলোর অ-রৈখিকতা নির্ভরশীল চলকের সাথে সম্পর্ককে বিকৃত করতে পারে। এটি একটি নমনীয় টুল যা গবেষককে সম্পর্কের ফাংশনাল ফর্ম আগে থেকে অনুমান না করেই ডেটার সাথে আরও উপযুক্ত মডেল ফিট করতে দেয়।

লজিস্টিক রিগ্রেশনে রৈখিকতা যাচাই করা

লজিস্টিক রিগ্রেশন-এ, একটি মূল অনুমান হলো যে অবিচ্ছিন্ন স্বাধীন চলকগুলো নির্ভরশীল চলকের লজিটের সাথে একটি রৈখিক সম্পর্ক প্রদর্শন করে। এই অনুমানের লঙ্ঘন পক্ষপাতদুষ্ট প্রাক্কলন এবং মডেলের কর্মক্ষমতা হ্রাসের দিকে নিয়ে যেতে পারে। বক্স-টিডওয়েল রূপান্তর হলো এমন একটি পদ্ধতি যা লজিটের সাথে রৈখিকতা অর্জনের জন্য কোনো অবিচ্ছিন্ন প্রেডিক্টরের রূপান্তর প্রয়োজন কিনা তা নির্ধারণ করে এই ধরনের লঙ্ঘন মূল্যায়ন ও সংশোধন করতে ব্যবহৃত হয়।

রৈখিকতা যাচাইয়ের পদ্ধতি

বক্স-টিডওয়েল রূপান্তর প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন চলক X_i এবং এর প্রাকৃতিক লগারিদম $\log (X_i)$-এর মধ্যে একটি ইন্টারঅ্যাকশন টার্ম প্রবর্তন করে:

$X_i\log (X_i)$

এই টার্মটি লজিস্টিক রিগ্রেশন মডেলে অন্তর্ভুক্ত করা হয় যাতে পরীক্ষা করা যায় যে X_i এবং লজিটের মধ্যে সম্পর্ক অ-রৈখিক কিনা। এই ইন্টারঅ্যাকশন টার্মের জন্য একটি পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ সহগ রৈখিকতার অনুমান লঙ্ঘনের ইঙ্গিত দেয়, যা প্রেডিক্টরের রূপান্তরের প্রয়োজনীয়তার পরামর্শ দেয়। বক্স-টিডওয়েল রূপান্তর সম্পর্কটিকে রৈখিক করার জন্য একটি উপযুক্ত পাওয়ার রূপান্তর প্রদান করে, যার ফলে মডেলের নির্ভুলতা এবং বৈধতা উন্নত হয়। বিপরীতভাবে, অ-তাৎপর্যপূর্ণ ফলাফল রৈখিকতার অনুমানকে সমর্থন করে।

সীমাবদ্ধতা

বক্স-টিডওয়েল রূপান্তরের একটি সীমাবদ্ধতা হলো এটি শুধুমাত্র স্বাধীন চলকের ধনাত্মক মানের জন্য কাজ করে। যদি আপনার ডেটাতে ঋণাত্মক মান থাকে, তবে চলকগুলোকে পরিবর্তন না করে (যেমন, একটি ধ্রুবক যোগ করা) রূপান্তরটি সরাসরি প্রয়োগ করা যায় না।

বিকল্প নাম এবং সম্পর্কিত ধারণা

পাওয়ার ট্রান্সফর্ম বিভিন্ন বৈজ্ঞানিক ও প্রয়োগিক প্রেক্ষাপটে বিভিন্ন নামে পরিচিত:

• বক্স-কক্স রূপান্তর – যেমনটি উপরে আলোচনা করা হয়েছে।

• আলফা-ফেয়ারনেস – ফ্রাঙ্ক কেলি এবং সহযোগীদের দ্বারা নেটওয়ার্ক ইউটিলিটি ম্যাক্সিমাইজেশন গবেষণায় α-ফেয়ার ইউটিলিটি ফাংশন পরিবার হিসেবে প্রবর্তিত।

• সালিস এনট্রপি – নন-এক্সটেনসিভ স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেকানিক্সে প্রস্তাবিত শ্যানন এনট্রপি-এর একটি সাধারণীকরণ, যা সালিস প্যারামিটার ১-এর দিকে অভিসারী হলে শ্যানন এনট্রপিতে পরিণত হয়।

• কিউ-এক্সপোনেনশিয়াল পরিবার – স্ট্যান্ডার্ড এক্সপোনেনশিয়াল পরিবারের একটি সাধারণীকরণ যা এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনকে সালিস স্ট্যাটিস্টিক্স থেকে প্রাপ্ত কিউ-এক্সপোনেনশিয়াল ফর্ম দ্বারা প্রতিস্থাপন করে।

তথ্যসূত্র

• (1964). "An analysis of transformations". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 26 (2) 211–252.
• (1981). On prediction and the power transformation family. Biometrika. 68 (3) 609–615. doi:10.1093/biomet/68.3.609.
• (1987). A Conversation with George Box. Statistical Science. 2 (3) 239–258. doi:10.1214/ss/1177013223.
• (2002). "Optimal Power Transformations for Analysis of Sperm Concentration and Other Semen Variables". Journal of Andrology. 23 (5).
• (2006). "Self-similar power transforms in extrapolation problems". Journal of Mathematical Chemistry. 39 (1) 47–56. doi:10.1007/s10910-005-9003-7.
• (1979). "Application of a generalized power transformation to geochemical data". Journal of the International Association for Mathematical Geology. 11 (1) 45–62. doi:10.1007/BF01043245.
• Box, G.E.P. and Tidwell, P.W. (1962) Transformation of Independent Variables. Technometrics, 4, 531-550. https://doi.org/10.1080/00401706.1962.10490038 (a.k.a. Box-Tidwell transformation)

বহিঃসংযোগ

• Box–Cox transformation (fixed link)
• Sanford Weisberg, Yeo-Johnson Power Transformations

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Power transform” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Power_transform এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।