ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন

গণিতে, একটি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন (বা অন্তরক সমীকরণ) হলো এমন একটি সমীকরণ যা এক বা একাধিক অজানা ফাংশন এবং তাদের অন্তরজকে সংযুক্ত করে। প্রয়োগের ক্ষেত্রে, ফাংশনগুলো সাধারণত ভৌত রাশিকে নির্দেশ করে, অন্তরজগুলো তাদের পরিবর্তনের হার নির্দেশ করে এবং ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনটি এই দুটির মধ্যে একটি সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করে। এই ধরনের সম্পর্ক গাণিতিক মডেল এবং বৈজ্ঞানিক সূত্রে সাধারণ; তাই, প্রকৌশল, পদার্থবিজ্ঞান, অর্থনীতি এবং জীববিজ্ঞান সহ অনেক শাখায় ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের অধ্যয়ন মূলত তাদের সমাধান (যেসব ফাংশন প্রতিটি সমীকরণকে সিদ্ধ করে) এবং তাদের সমাধানের বৈশিষ্ট্যগুলোর অধ্যয়নের সমন্বয়ে গঠিত। শুধুমাত্র সবচেয়ে সহজ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনগুলো স্পষ্ট সূত্রের মাধ্যমে সমাধানযোগ্য; তবে, কোনো প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের সমাধানের অনেক বৈশিষ্ট্য সেগুলোকে সঠিকভাবে গণনা না করেই নির্ধারণ করা যেতে পারে।

প্রায়শই যখন সমাধানের জন্য কোনো বদ্ধ-রূপ রাশিমালা পাওয়া যায় না, তখন কম্পিউটারের সাহায্যে সংখ্যাসূচকভাবে সমাধানগুলো আসন্ন করা যেতে পারে এবং একটি নির্দিষ্ট মাত্রার নির্ভুলতার সাথে সমাধান নির্ধারণের জন্য অনেক সংখ্যাসূচক পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে। ডায়নামিক্যাল সিস্টেমের তত্ত্ব সমাধানের গুণগত দিকগুলো বিশ্লেষণ করে, যেমন দীর্ঘ সময়ের ব্যবধানে তাদের গড় আচরণ।

ইতিহাস

আইজ্যাক নিউটন এবং গটফ্রিড লাইবনিজ কর্তৃক ক্যালকুলাস আবিষ্কারের সাথে ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের উদ্ভব ঘটে। ১৬৭১ সালের তার কাজ Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum-এর ২য় অধ্যায়ে, নিউটন তিন ধরনের ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের তালিকাভুক্ত করেন:

$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =f(x)\\ \frac{dy}{dx}& =f(x,y)\\ x_1\frac{\partial y}{\partial x_1}& +x_2\frac{\partial y}{\partial x_2}=y\end{array}$

এই সব ক্ষেত্রে, y হলো x (অথবা x₁ এবং x₂) এর একটি অজানা ফাংশন এবং f হলো একটি প্রদত্ত ফাংশন। তিনি অসীম ধারা ব্যবহার করে এই উদাহরণগুলো এবং অন্যান্য সমাধান করেছিলেন এবং সমাধানের অ-অনন্যতা নিয়ে আলোচনা করেছিলেন।

জ্যাকব বার্নোলি ১৬৯৫ সালে বার্নোলি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন প্রস্তাব করেন। এটি হলো নিচের আকারের একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন:

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n$

যার জন্য পরের বছর লাইবনিজ এটিকে সরলীকরণের মাধ্যমে সমাধান লাভ করেন।

ঐতিহাসিকভাবে, বাদ্যযন্ত্রের মতো কম্পনশীল তারের সমস্যাটি জঁ ল্য রঁ দালঁবেয়ার, লিওনার্ড অয়লার, ড্যানিয়েল বার্নোলি এবং জোসেফ-লুই ল্যাগ্রাঞ্জ দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল। ১৭৪৬ সালে, দালঁবেয়ার এক-মাত্রিক তরঙ্গ সমীকরণ আবিষ্কার করেন এবং দশ বছরের মধ্যে অয়লার ত্রিমাত্রিক তরঙ্গ সমীকরণ আবিষ্কার করেন।

অয়লার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণ ১৭৫০-এর দশকে অয়লার এবং ল্যাগ্রাঞ্জ কর্তৃক টটোক্রোন সমস্যা নিয়ে তাদের গবেষণার সাথে সম্পর্কিত হিসেবে তৈরি করা হয়েছিল। এটি এমন একটি বক্ররেখা নির্ধারণের সমস্যা যেখানে একটি ভারযুক্ত কণা শুরুর বিন্দু নির্বিশেষে একটি নির্দিষ্ট সময়ে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে পতিত হবে। ল্যাগ্রাঞ্জ ১৭৫৫ সালে এই সমস্যার সমাধান করেন এবং অয়লারের কাছে সমাধানটি পাঠান। উভয়ই ল্যাগ্রাঞ্জের পদ্ধতিকে আরও উন্নত করেন এবং এটিকে বলবিদ্যায় প্রয়োগ করেন, যা ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিদ্যার সূত্রায়নের দিকে পরিচালিত করে।

১৮২২ সালে, ফুরিয়ার তার তাপ প্রবাহ সংক্রান্ত কাজ Théorie analytique de la chaleur (তাপের বিশ্লেষণাত্মক তত্ত্ব)-এ প্রকাশ করেন, যেখানে তিনি তার যুক্তিকে নিউটনের শীতলীকরণ সূত্রের ওপর ভিত্তি করে স্থাপন করেন, অর্থাৎ, দুটি সংলগ্ন অণুর মধ্যে তাপের প্রবাহ তাদের তাপমাত্রার অত্যন্ত ক্ষুদ্র পার্থক্যের সমানুপাতিক। এই বইটিতে তাপের পরিবাহী ব্যাপনের জন্য ফুরিয়ারের তাপ সমীকরণ প্রস্তাবনা অন্তর্ভুক্ত ছিল। এই আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনটি এখন গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের পাঠ্যক্রমের একটি সাধারণ অংশ।

উদাহরণ

চিরায়ত বলবিদ্যায়, সময়ের পরিবর্তনের সাথে সাথে একটি বস্তুর অবস্থান এবং বেগের মাধ্যমে তার গতি বর্ণনা করা হয়। নিউটনের গতির সূত্রগুলো এই চলকগুলোকে গতিশীলভাবে প্রকাশ করার অনুমতি দেয় (বস্তুর অবস্থান, বেগ এবং বস্তুর ওপর ক্রিয়াশীল বিভিন্ন বল দেওয়া থাকলে) সময়ের ফাংশন হিসেবে বস্তুর অজানা অবস্থানের জন্য একটি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন হিসেবে।

কিছু ক্ষেত্রে, এই ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনটি (যাকে গতির সমীকরণ বলা হয়) স্পষ্টভাবে সমাধান করা যেতে পারে।

ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন ব্যবহার করে বাস্তব-বিশ্বের সমস্যা মডেলিং করার একটি উদাহরণ হলো বাতাসের মধ্য দিয়ে পড়ন্ত বলের বেগ নির্ধারণ, যেখানে শুধুমাত্র অভিকর্ষ এবং বায়ুর বাধা বিবেচনা করা হয়। মাটির দিকে বলের ত্বরণ হলো অভিকর্ষজনিত ত্বরণ থেকে বায়ুর বাধা জনিত মন্দন বিয়োগ। অভিকর্ষকে ধ্রুবক ধরা হয় এবং বায়ুর বাধাকে বলের বেগের সমানুপাতিক হিসেবে মডেল করা যেতে পারে। এর অর্থ হলো বলের ত্বরণ, যা তার বেগের একটি অন্তরজ, তা বেগের ওপর নির্ভর করে (এবং বেগ সময়ের ওপর নির্ভর করে)। সময়ের ফাংশন হিসেবে বেগ খুঁজে বের করার জন্য একটি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন সমাধান করা এবং এর বৈধতা যাচাই করা প্রয়োজন।

প্রকারভেদ

ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনকে বিভিন্ন উপায়ে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। সমীকরণটির নিজস্ব বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করার পাশাপাশি, ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের এই শ্রেণীগুলো সমাধানের পদ্ধতির পছন্দ সম্পর্কে জানাতে সাহায্য করতে পারে। সাধারণভাবে ব্যবহৃত পার্থক্যগুলোর মধ্যে রয়েছে সমীকরণটি সাধারণ নাকি আংশিক, রৈখিক নাকি অ-রৈখিক এবং সমজাতীয় নাকি অসমজাতীয়। এই তালিকাটি সম্পূর্ণ নয়; ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের আরও অনেক বৈশিষ্ট্য এবং উপশ্রেণী রয়েছে যা নির্দিষ্ট প্রেক্ষাপটে খুব দরকারী হতে পারে।

সাধারণ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন

মূল নিবন্ধ: Ordinary differential equation একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন (ODE) হলো এমন একটি সমীকরণ যাতে একটি অজানা এক বাস্তব বা জটিল চলকের ফাংশন x, তার অন্তরজ এবং x-এর কিছু প্রদত্ত ফাংশন থাকে। অজানা ফাংশনটি সাধারণত একটি নির্ভরশীল চলক (প্রায়শই y দ্বারা চিহ্নিত) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যা তাই x-এর ওপর নির্ভর করে। সুতরাং x-কে প্রায়শই সমীকরণটির স্বাধীন চলক বলা হয়। "সাধারণ" শব্দটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের বিপরীতে ব্যবহৃত হয়, যা একাধিক স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে হতে পারে।

যেহেতু, সাধারণত, একটি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের সমাধানগুলোকে একটি বদ্ধ-রূপ রাশিমালা দ্বারা প্রকাশ করা যায় না, তাই কম্পিউটারে ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন সমাধানের জন্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতি সাধারণত ব্যবহৃত হয়।

আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন

মূল নিবন্ধ: Partial differential equation একটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন (PDE) হলো একটি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন যাতে অজানা বহুচলক ফাংশন এবং তাদের আংশিক অন্তরজ থাকে। PDE-গুলো একাধিক চলকের ফাংশন জড়িত সমস্যাগুলো তৈরি করতে ব্যবহৃত হয় এবং এগুলো হয় বদ্ধ রূপে সমাধান করা হয়, অথবা একটি প্রাসঙ্গিক কম্পিউটার মডেল ব্যবহার করে সমাধান করা হয়।

PDE-গুলো প্রকৃতিতে শব্দ, তাপ, স্থির তড়িৎ, তড়িৎগতিবিদ্যা, তরল প্রবাহ, স্থিতিস্থাপকতা বা কোয়ান্টাম বলবিদ্যার মতো বিভিন্ন ঘটনা বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হতে পারে। এই আপাতদৃষ্টিতে স্বতন্ত্র ভৌত ঘটনাগুলোকে PDE-এর পরিপ্রেক্ষিতে একইভাবে আনুষ্ঠানিক করা যেতে পারে। যেমন সাধারণ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনগুলো প্রায়শই এক-মাত্রিক ডায়নামিক্যাল সিস্টেম মডেল করে, তেমনি আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনগুলো প্রায়শই বহুমাত্রিক সিস্টেম মডেল করে। স্টোকাস্টিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনগুলো দৈবতা মডেল করার জন্য আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনগুলোকে সাধারণীকরণ করে।

রৈখিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন

মূল নিবন্ধ: linear differential equations

রৈখিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনগুলো হলো এমন ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন যা অজানা ফাংশন এবং তার অন্তরজের ক্ষেত্রে রৈখিক। তাদের তত্ত্বটি সুগঠিত এবং অনেক ক্ষেত্রে কেউ তাদের সমাধানগুলোকে অন্তরকলনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে পারে।

পদার্থবিজ্ঞানে প্রাপ্ত অনেক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন রৈখিক, উদাহরণস্বরূপ তেজস্ক্রিয় ক্ষয় বর্ণনা করা ODE এবং তাপীয় ব্যাপন দ্বারা তাপ স্থানান্তর-এর জন্য PDE। এগুলো বিশেষ ফাংশনের দিকে পরিচালিত করে, যা রৈখিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের সমাধান হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (দেখুন Holonomic function)।

অ-রৈখিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন

মূল নিবন্ধ: Non-linear differential equations একটি অ-রৈখিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন হলো এমন একটি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন যা অজানা ফাংশন এবং তার অন্তরজের ক্ষেত্রে রৈখিক নয় (ফাংশনের আর্গুমেন্টগুলোতে রৈখিকতা বা অ-রৈখিকতা এখানে বিবেচনা করা হয় না)। অ-রৈখিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনগুলো সঠিকভাবে সমাধান করার খুব কম পদ্ধতি রয়েছে; যেগুলো জানা আছে সেগুলো সাধারণত সমীকরণটির নির্দিষ্ট প্রতিসাম্য থাকার ওপর নির্ভর করে। অ-রৈখিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনগুলো দীর্ঘ সময়ের ব্যবধানে খুব জটিল আচরণ প্রদর্শন করতে পারে, যা ক্যাওস তত্ত্বের বৈশিষ্ট্য। এমনকি অ-রৈখিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের সমাধানের অস্তিত্ব এবং অনন্যতার মৌলিক প্রশ্নগুলোও কঠিন সমস্যা এবং বিশেষ ক্ষেত্রে তাদের সমাধান গাণিতিক তত্ত্বে একটি উল্লেখযোগ্য অগ্রগতি হিসেবে বিবেচিত হয় (তুলনা করুন Navier–Stokes existence and smoothness)। তবে, যদি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনটি একটি অর্থপূর্ণ ভৌত প্রক্রিয়ার সঠিকভাবে প্রণীত উপস্থাপনা হয়, তবে আশা করা যায় যে এর একটি সমাধান থাকবে।

কিছু পরিস্থিতিতে, অ-রৈখিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনগুলোকে রৈখিক সমীকরণ দ্বারা আসন্ন করা যেতে পারে। এই আসন্নগুলো শুধুমাত্র সীমাবদ্ধ শর্তের অধীনে বৈধ। উদাহরণস্বরূপ, হারমোনিক অসিলেটর সমীকরণটি অ-রৈখিক দোলক সমীকরণের একটি আসন্ন যা ছোট বিস্তারের দোলনের জন্য বৈধ। একইভাবে, যখন একটি অ-রৈখিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের একটি স্থির বিন্দু বা স্থির সমাধান পাওয়া যায়, তখন তার স্থিতিশীলতার তদন্ত একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের দিকে পরিচালিত করে।

সমীকরণের ক্রম এবং ঘাত

ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের ক্রম হলো অজানা ফাংশনের সর্বোচ্চ অন্তরজের ক্রম যা ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনে উপস্থিত থাকে। উদাহরণস্বরূপ, শুধুমাত্র প্রথম-ক্রমের অন্তরজ সম্বলিত একটি সমীকরণ হলো একটি প্রথম-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন, দ্বিতীয়-ক্রমের অন্তরজ সম্বলিত একটি সমীকরণ হলো একটি দ্বিতীয়-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন, ইত্যাদি।

যখন এটি অজানা ফাংশন এবং তার অন্তরজের একটি বহুপদী সমীকরণ হিসেবে লেখা হয়, তখন ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের ঘাত হলো, প্রেক্ষাপটের ওপর নির্ভর করে, অজানা ফাংশনের সর্বোচ্চ অন্তরজের বহুপদী ঘাত, অথবা অজানা ফাংশন এবং তার অন্তরজের ক্ষেত্রে এর মোট ঘাত। বিশেষ করে, একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের উভয় অর্থের জন্যই ঘাত এক, কিন্তু অ-রৈখিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন $y^{\prime }+y^2=0$-এর প্রথম অর্থের জন্য ঘাত এক কিন্তু দ্বিতীয়টির জন্য নয়।

প্রাকৃতিক ঘটনা বর্ণনা করা ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনগুলোতে সাধারণত শুধুমাত্র প্রথম এবং দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরজ থাকে, তবে কিছু ব্যতিক্রম রয়েছে, যেমন থিন-ফিল্ম সমীকরণ, যা একটি চতুর্থ ক্রমের আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন।

সমজাতীয় রৈখিক সমীকরণ

একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন সমজাতীয় হয় যদি সমীকরণের প্রতিটি পদে হয় নির্ভরশীল চলক অথবা তার অন্তরজগুলোর একটি অন্তর্ভুক্ত থাকে। যদি এমনটি না হয়, অর্থাৎ যদি এমন একটি পদ থাকে যা নির্ভরশীল চলক বা তার কোনো অন্তরজ অন্তর্ভুক্ত করে না, তবে সমীকরণটি অসমজাতীয় বা হেটেরোজেনিয়াস। নিচের উদাহরণগুলো দেখুন।

উদাহরণ

উদাহরণগুলোর প্রথম দলটি হলো সাধারণ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন, যেখানে u হলো x-এর একটি অজানা ফাংশন এবং c ও ω হলো ধ্রুবক যা জানা আছে বলে ধরে নেওয়া হয়। এই উদাহরণগুলো রৈখিক এবং অ-রৈখিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের মধ্যে এবং উপরে সংজ্ঞায়িত সমজাতীয় ও অসমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের মধ্যে পার্থক্য তুলে ধরে।

• অসমজাতীয় প্রথম-ক্রমের রৈখিক ধ্রুবক-সহগ সাধারণ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন:

  $\frac{du}{dx}=cu+x^2.$

• সমজাতীয় দ্বিতীয়-ক্রমের রৈখিক সাধারণ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন:

  $\frac{d^{2}u}{d{x}^2}-x\frac{du}{dx}+u=0.$

• হারমোনিক অসিলেটর বর্ণনা করা সমজাতীয় দ্বিতীয়-ক্রমের রৈখিক ধ্রুবক-সহগ সাধারণ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন:

  $\frac{d^{2}u}{d{x}^2}+{\omega }^{2}u=0.$

• প্রথম-ক্রমের অ-রৈখিক সাধারণ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন:

  $\frac{du}{dx}=u^2+4.$

• L দৈর্ঘ্যের একটি দোলকের গতি বর্ণনা করা দ্বিতীয়-ক্রমের অ-রৈখিক (সাইন ফাংশনের কারণে) সাধারণ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন:

  $L\frac{d^{2}u}{d{x}^2}+g\sin u=0.$

উদাহরণগুলোর পরবর্তী দলটি হলো আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন। অজানা ফাংশন u দুটি চলক x ও t অথবা x ও y-এর ওপর নির্ভর করে।

• সমজাতীয় প্রথম-ক্রমের রৈখিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন:

  $\frac{\partial u}{\partial t}+t\frac{\partial u}{\partial x}=0.$

• উপবৃত্তাকার ধরনের সমজাতীয় দ্বিতীয়-ক্রমের রৈখিক ধ্রুবক সহগ আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন, ল্যাপলাস সমীকরণ:

  $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0.$

• তৃতীয়-ক্রমের অ-রৈখিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন, KdV সমীকরণ:

  $\frac{\partial u}{\partial t}=6u\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3}.$

প্রারম্ভিক শর্ত এবং সীমানা শর্ত

একটি প্রথম-ক্রমের সাধারণ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের সাধারণ সমাধানে একটি ধ্রুবক অন্তর্ভুক্ত থাকে, যাকে সমাকলনের ধ্রুবক হিসেবে ভাবা যেতে পারে। একইভাবে, একটি $n$তম ক্রমের ODE-এর সাধারণ সমাধানে $n$টি ধ্রুবক থাকে।

এই ধ্রুবকগুলোর মান নির্ধারণের জন্য, অতিরিক্ত শর্ত প্রদান করতে হবে। যদি স্বাধীন চলকটি সময়ের সাথে মিলে যায়, তবে এই তথ্যটি প্রারম্ভিক শর্তের রূপ নেয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি কণার গতি বর্ণনা করা দ্বিতীয়-ক্রমের ODE-এর জন্য, প্রারম্ভিক শর্তগুলো সাধারণত প্রারম্ভিক সময়ে কণার অবস্থান এবং বেগ হবে। ODE এবং এর প্রারম্ভিক শর্তগুলো মিলে যা তৈরি করে তাকে প্রারম্ভিক মান সমস্যা বলা হয়।

একটি স্থানিক স্বাধীন চলকের ক্ষেত্রে, এই শর্তগুলো সাধারণত সীমানা শর্ত হিসেবে পরিচিত। এগুলো প্রায়শই স্বাধীন চলকের বিভিন্ন মানে নির্দিষ্ট করা হয়। উদাহরণগুলোর মধ্যে রয়েছে দুটি প্রান্তে স্থির একটি কম্পনশীল তারের গতি। এই ক্ষেত্রে ODE এবং সীমানা শর্তগুলো একটি সীমানা মান সমস্যার দিকে পরিচালিত করে।

আরও সাধারণভাবে, প্রারম্ভিক শর্ত শব্দটি সাধারণত তখন ব্যবহৃত হয় যখন শর্তগুলো স্বাধীন চলকের একই মানে দেওয়া থাকে এবং সীমানা শর্ত শব্দটি তখন ব্যবহৃত হয় যখন সেগুলো স্বাধীন চলকের বিভিন্ন মানে নির্দিষ্ট করা হয়। উভয় ক্ষেত্রেই, প্রারম্ভিক বা সীমানা শর্তের সংখ্যা ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের ক্রমের সাথে মিল থাকা উচিত।

সমাধানের অস্তিত্ব

একটি প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের জন্য, সমাধানগুলো অনন্য নাকি আদৌ বিদ্যমান কিনা তা আগ্রহের উল্লেখযোগ্য বিষয়।

একটি প্রথম-ক্রমের প্রারম্ভিক মান সমস্যার জন্য, পিয়ানো অস্তিত্ব উপপাদ্য এমন এক সেট পরিস্থিতি দেয় যেখানে একটি সমাধান বিদ্যমান। xy-তলে যেকোনো বিন্দু $(a,b)$ দেওয়া থাকলে, কিছু আয়তক্ষেত্রাকার অঞ্চল $Z$ সংজ্ঞায়িত করুন, যাতে $Z=[l,m]\times [n,p]$ এবং $(a,b)$ অঞ্চল $Z$-এর অভ্যন্তরে থাকে। যদি আমাদের একটি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন $\frac{dy}{dx}=g(x,y)$ এবং শর্ত দেওয়া থাকে যে $x=a$ হলে $y=b$, তবে এই সমস্যার স্থানীয়ভাবে একটি সমাধান আছে যদি $g(x,y)$ অঞ্চল $Z$-এ অবিচ্ছিন্ন হয়। এই সমাধানটি $a$-তে কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো ব্যবধিতে বিদ্যমান। সমাধানটি অনন্য নাও হতে পারে। (অন্যান্য ফলাফলের জন্য সাধারণ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন দেখুন।)

তবে, এটি শুধুমাত্র আমাদের প্রথম ক্রমের প্রারম্ভিক মান সমস্যাগুলোর ক্ষেত্রে সাহায্য করে। ধরুন আমাদের nth ক্রমের একটি রৈখিক প্রারম্ভিক মান সমস্যা আছে:

$f_n(x)\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+\cdots +f_1(x)\frac{dy}{dx}+f_0(x)y=g(x)$

যাতে

$\begin{array}{rlrlrlr}y(x_0)& =y_0,& y^{\prime }(x_0)& =y{\text{'}}_0,& y^{″}(x_0)& =y^{\prime }{\text{'}}_0,& \dots \end{array}$

যেকোনো অশূন্য $f_n(x)$-এর জন্য, যদি $\{f_0,f_1,\dots \}$ এবং $g$ বিন্দু $x_0$ ধারণকারী কোনো ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন হয়, তবে $y$ বিদ্যমান এবং অনন্য।

সম্পর্কিত ধারণা

• একটি ডিলে ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন (DDE) হলো একটি একক চলকের ফাংশনের জন্য একটি সমীকরণ, যাকে সাধারণত সময় বলা হয়, যেখানে একটি নির্দিষ্ট সময়ে ফাংশনের অন্তরজ পূর্ববর্তী সময়ে ফাংশনের মানগুলোর পরিপ্রেক্ষিতে দেওয়া হয়।
• সমাকলন সমীকরণগুলোকে ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের অ্যানালগ হিসেবে দেখা যেতে পারে যেখানে সমীকরণে অন্তরজ জড়িত থাকার পরিবর্তে, সমীকরণে সমাকলন থাকে।
• একটি ইন্টিগ্রো-ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন (IDE) হলো এমন একটি সমীকরণ যা একটি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন এবং একটি সমাকলন সমীকরণের দিকগুলোকে একত্রিত করে।
• একটি স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন (SDE) হলো এমন একটি সমীকরণ যেখানে অজানা রাশিটি একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া এবং সমীকরণটিতে কিছু পরিচিত স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া জড়িত, উদাহরণস্বরূপ, ব্যাপন সমীকরণের ক্ষেত্রে উইনার প্রক্রিয়া।
• একটি স্টোকাস্টিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন (SPDE) হলো এমন একটি সমীকরণ যা SDE-গুলোকে স্থান-কাল নয়েজ প্রক্রিয়া অন্তর্ভুক্ত করার জন্য সাধারণীকরণ করে, যার প্রয়োগ কোয়ান্টাম ফিল্ড তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানগত বলবিদ্যায় রয়েছে।
• একটি আল্ট্রামেট্রিক সিউডো-ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন হলো এমন একটি সমীকরণ যাতে একটি আল্ট্রামেট্রিক স্পেসে p-অ্যাডিক সংখ্যা থাকে। গাণিতিক মডেল যা আল্ট্রামেট্রিক সিউডো-ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন জড়িত করে, তারা ডিফারেনশিয়াল অপারেটরের পরিবর্তে সিউডো-ডিফারেনশিয়াল অপারেটর ব্যবহার করে।
• একটি ডিফারেনশিয়াল অ্যালজেব্রিক ইকুয়েশন (DAE) হলো একটি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন যা ডিফারেনশিয়াল এবং বীজগাণিতিক পদ নিয়ে গঠিত, যা অন্তর্নিহিত আকারে দেওয়া হয়।

ডিফারেন্স ইকুয়েশনের সাথে সংযোগ

ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনগুলো ডিফারেন্স ইকুয়েশনের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যেখানে স্বাধীন চলক শুধুমাত্র বিচ্ছিন্ন মান গ্রহণ করে এবং সমীকরণটি একটি বিন্দুতে অজানা ফাংশনের মানকে নিকটবর্তী বিন্দুগুলোতে তার মানের সাথে সংযুক্ত করে। ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের জন্য অনেক সংখ্যাসূচক পদ্ধতি, উদাহরণস্বরূপ অয়লার পদ্ধতি, একটি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের সমাধানকে একটি সংশ্লিষ্ট ডিফারেন্স ইকুয়েশনের সমাধানের মাধ্যমে আসন্ন করার সাথে জড়িত।

প্রয়োগ

ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের অধ্যয়ন বিশুদ্ধ এবং ফলিত গণিত, পদার্থবিজ্ঞান এবং প্রকৌশলের একটি বিস্তৃত ক্ষেত্র। এই সমস্ত শাখা বিভিন্ন ধরনের ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের বৈশিষ্ট্যের সাথে সম্পর্কিত। বিশুদ্ধ গণিত সমাধানের অস্তিত্ব এবং অনন্যতার ওপর আলোকপাত করে, অন্যদিকে ফলিত গণিত সরাসরি বা আসন্নভাবে সমাধান খুঁজে বের করা এবং তাদের আচরণ অধ্যয়নের সাথে সম্পর্কিত। ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন মহাজাগতিক গতি থেকে শুরু করে সেতু নকশা, নিউরনের মধ্যে মিথস্ক্রিয়া পর্যন্ত কার্যত প্রতিটি ভৌত, প্রযুক্তিগত বা জৈবিক প্রক্রিয়া মডেলিংয়ে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। বাস্তব-জীবনের সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহৃত ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনগুলোর বদ্ধ রূপ সমাধান নাও থাকতে পারে। পরিবর্তে, সংখ্যাসূচক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধানগুলো আসন্ন করা যেতে পারে।

পদার্থবিজ্ঞান এবং রসায়নের অনেক মৌলিক সূত্র ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন হিসেবে প্রণয়ন করা যেতে পারে। জীববিজ্ঞান এবং অর্থনীতিতে, ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনগুলো জটিল সিস্টেমের আচরণ মডেল করতে ব্যবহৃত হয়। ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের গাণিতিক তত্ত্ব প্রথমে সেই বিজ্ঞানগুলোর সাথে বিকশিত হয়েছিল যেখানে সমীকরণগুলোর উদ্ভব হয়েছিল এবং যেখানে ফলাফলগুলো প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছিল। তবে, বিভিন্ন সমস্যা, যা কখনও কখনও সম্পূর্ণ স্বতন্ত্র বৈজ্ঞানিক ক্ষেত্রে উদ্ভূত হয়, অভিন্ন ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের জন্ম দিতে পারে। যখন এমনটি ঘটে, তখন সমীকরণগুলোর পেছনের গাণিতিক তত্ত্বকে বিভিন্ন ঘটনার পেছনের একটি ঐক্যবদ্ধ নীতি হিসেবে দেখা যেতে পারে। উদাহরণ হিসেবে, বায়ুমণ্ডলে আলো ও শব্দের প্রচার এবং পুকুরের পৃষ্ঠে তরঙ্গের কথা বিবেচনা করুন। তাদের সবাইকে একই দ্বিতীয়-ক্রমের আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন, তরঙ্গ সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে, যা আমাদের আলো এবং শব্দকে তরঙ্গের রূপ হিসেবে চিন্তা করার অনুমতি দেয়, অনেকটা জলের পরিচিত তরঙ্গের মতো। তাপের পরিবহন, যার তত্ত্ব জোসেফ ফুরিয়ার দ্বারা বিকশিত হয়েছিল, তা আরেকটি দ্বিতীয়-ক্রমের আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন, তাপ সমীকরণ দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়। দেখা যায় যে অনেক ব্যাপন প্রক্রিয়া, আপাতদৃষ্টিতে ভিন্ন হলেও, একই সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত হয়।

বিভিন্ন বৈজ্ঞানিক ক্ষেত্রে নাম পাওয়া ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের সংখ্যা বিষয়টির গুরুত্ব প্রদর্শন করে। দেখুন List of named differential equations।

সফটওয়্যার

কিছু CAS সফটওয়্যার ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন সমাধান করতে পারে। শীর্ষস্থানীয় প্রোগ্রামগুলোতে ব্যবহৃত কমান্ডগুলো হলো:

• Maple: dsolve
• Mathematica: DSolve[]
• Maxima: ode2(equation, y, x)
• SageMath: desolve()
• SymPy: sympy.solvers.ode.dsolve(equation)
• Xcas: desolve(y'=k*y,y)

আরও দেখুন

• Exact differential equation
• Functional differential equation
• Initial condition
• Integral equations
• Numerical methods for ordinary differential equations
• Numerical methods for partial differential equations
• Picard–Lindelöf theorem on existence and uniqueness of solutions
• Recurrence relation, also known as 'difference equation'
• Abstract differential equation
• System of differential equations

আরও পড়ুন

• (2003). Calculus. 266–277. Hodder & Stoughton Educational; Contemporary Books. ISBN 978-0-07-142128-7.
• Blanchard, Paul. (2006). Student Solutions Manual for Blanchard, Devaney, and Hall's Differential Equations. Brooks/Cole Thomson Learning. ISBN 978-0-495-01461-4.
• (2017). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-44376-6.
• (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill.
• Ince, E. L.. (1956). "Ordinary Differential Equations". Dover.
• Johnson, W.. (1913). A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations. John Wiley and Sons. ইন ইউনিভার্সিটি অফ মিশিগান হিস্টোরিক্যাল ম্যাথ কালেকশন
• (2003). Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations. Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
• Porter, Ronald I.. (1978). Further elementary analysis. Bell & Hyman. ISBN 978-0-7135-1594-7.
• Teschl. (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Zwillinger, Daniel. (2014). Handbook of Differential Equations. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-6396-0.

বহিঃসংযোগ

Ordinary Differential Equations Differential equations Differential Equation

• Differential equations
• ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনস বিষয়ক লেকচার MIT ওপেন কোর্সওয়্যার ভিডিও
• অনলাইন নোটস / ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনস পল ডকিন্স, লামার ইউনিভার্সিটি
• ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনস, এস.ও.এস. ম্যাথমেটিক্স
• ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের মাধ্যমে মডেলিংয়ের পরিচিতি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের মাধ্যমে মডেলিংয়ের পরিচিতি, সমালোচনামূলক মন্তব্যসহ।
• ম্যাথমেটিক্যাল অ্যাসিস্ট্যান্ট অন ওয়েব সিম্বলিক ওডিই (ODE) টুল, ম্যাক্সিমা ব্যবহার করে
• অর্ডিনারি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের সঠিক সমাধান
• ভৌত সিস্টেমের ওডিই (ODE) এবং ডিএই (DAE) মডেলের সংগ্রহ সংরক্ষিত সংস্করণ ম্যাটল্যাব (MATLAB) মডেল
• নোটস অন ডিফি কিউস: ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনস ফর ইঞ্জিনিয়ার্স UIUC-এর জিরি লেবল রচিত ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের একটি প্রারম্ভিক পাঠ্যপুস্তক
• খান একাডেমি ভিডিও প্লেলিস্ট অন ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনস ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের প্রথম বর্ষের কোর্সে কভার করা বিষয়সমূহ।
• ম্যাথডিসকাস ভিডিও প্লেলিস্ট অন ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনস

collapsed

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Differential equation” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।