ট্রাঙ্কেশন (পরিসংখ্যান)

From LTRC

পরিসংখ্যানে, ট্রাঙ্কেশন (truncation) বা কর্তন এমন একটি প্রক্রিয়া যার ফলে মানগুলো একটি ঊর্ধ্বসীমা বা নিম্নসীমা দ্বারা সীমাবদ্ধ হয়ে পড়ে, যার ফলস্বরূপ একটি ট্রাঙ্কেট করা নমুনা (truncated sample) পাওয়া যায়।[1] একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল y-কে নিচ থেকে ট্রাঙ্কেট করা হয়েছে বলা হয় যদি কোনো নির্দিষ্ট থ্রেশহোল্ড মান c-এর জন্য, y>c সকল ক্ষেত্রে y-এর সঠিক মান জানা থাকে, কিন্তু y≤c সকল ক্ষেত্রে তা অজানা থাকে। একইভাবে, উপর থেকে ট্রাঙ্কেশন মানে হলো y<c ক্ষেত্রে y-এর সঠিক মান জানা থাকে, কিন্তু y≥c হলে তা অজানা থাকে।[2]

ট্রাঙ্কেশন ধারণাটি পরিসংখ্যানগত সেন্সরিং (statistical censoring)-এর অনুরূপ হলেও তা থেকে ভিন্ন। একটি ট্রাঙ্কেট করা নমুনাকে এমন একটি মূল নমুনার সমতুল্য হিসেবে ভাবা যেতে পারে, যেখানে সীমার বাইরের সমস্ত মান পুরোপুরি বাদ দেওয়া হয়েছে এবং বাদ দেওয়া মানগুলোর কোনো সংখ্যাও রাখা হয়নি। পরিসংখ্যানগত সেন্সরিংয়ের ক্ষেত্রে, কোন সীমা (ঊর্ধ্ব বা নিম্ন) অতিক্রম করা হয়েছে এবং সেই সীমার মান কত, তা নথিবদ্ধ করা হয়। ট্রাঙ্কেট করা নমুনার ক্ষেত্রে, এমন কোনো তথ্য নথিবদ্ধ করা হয় না।

প্রয়োগ

সাধারণত বীমা সমন্বয়কারীরা যে মানগুলো পান তা হয় বাম-ট্রাঙ্কেট করা, ডান-সেন্সর করা, অথবা উভয়ই। উদাহরণস্বরূপ, যদি পলিসিধারীরা একটি পলিসি সীমা u-এর অধীন হন, তবে u-এর চেয়ে বেশি যেকোনো ক্ষতির পরিমাণ বীমা কোম্পানিকে ঠিক u হিসেবে জানানো হয়, কারণ u হলো সেই পরিমাণ যা বীমা কোম্পানি প্রদান করে। বীমাকারী জানেন যে প্রকৃত ক্ষতি u-এর চেয়ে বেশি, কিন্তু তারা জানেন না প্রকৃত পরিমাণ কত। অন্যদিকে, বাম ট্রাঙ্কেশন ঘটে যখন পলিসিধারীরা একটি ডিডাক্টিবল (deductible)-এর অধীন হন। যদি পলিসিধারীরা d ডিডাক্টিবলের অধীন হন, তবে d-এর চেয়ে কম যেকোনো ক্ষতির পরিমাণ বীমা কোম্পানিকে জানানোই হবে না। যদি u পলিসি সীমা এবং d ডিডাক্টিবলের ওপর কোনো দাবি থাকে, তবে u-এর চেয়ে বেশি যেকোনো ক্ষতির পরিমাণ বীমা কোম্পানিকে u−d ক্ষতি হিসেবে জানানো হবে, কারণ বীমা কোম্পানিকে এই পরিমাণই পরিশোধ করতে হয়। অতএব, বীমার ক্ষতির ডেটা বাম-ট্রাঙ্কেট করা হয় কারণ বীমা কোম্পানি জানে না যে ডিডাক্টিবল d-এর নিচে কোনো মান আছে কি না, কারণ পলিসিধারীরা সেক্ষেত্রে কোনো দাবি করবেন না। বীমার ক্ষতি ডান-সেন্সর করাও হয় যদি ক্ষতি u-এর চেয়ে বেশি হয়, কারণ u হলো সর্বোচ্চ পরিমাণ যা বীমা কোম্পানি পরিশোধ করবে। সুতরাং, তারা কেবল জানে যে আপনার দাবি u-এর চেয়ে বেশি, সঠিক দাবির পরিমাণ নয়।

সম্ভাব্যতা বিন্যাস

মূল নিবন্ধ: Truncated distribution

ট্রাঙ্কেশন যেকোনো সম্ভাব্যতা বিন্যাসে প্রয়োগ করা যেতে পারে। এটি সাধারণত একটি নতুন বিন্যাসের দিকে নিয়ে যায়, যা একই পরিবারের অন্তর্ভুক্ত নয়। সুতরাং, যদি একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল X-এর বিন্যাস ফাংশন F(x) হয়, তবে নতুন র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল Y-কে (a, b] অর্ধ-উন্মুক্ত ব্যবধিতে X-এর ট্রাঙ্কেট করা বিন্যাস হিসেবে সংজ্ঞায়িত করলে তার বিন্যাস ফাংশন হবে:

FY(y)=F(y)−F(a)F(b)−F(a)

(a, b] ব্যবধির y-এর জন্য, এবং অন্যথায় 0 বা 1। যদি [a, b] বদ্ধ ব্যবধিতে ট্রাঙ্কেশন করা হয়, তবে বিন্যাস ফাংশন হবে:

FY(y)=F(y)−F(a−)F(b)−F(a−)

[a, b] ব্যবধির y-এর জন্য, এবং অন্যথায় 0 বা 1।

ডেটা বিশ্লেষণ

যেখানে পর্যবেক্ষণগুলোকে আদর্শ বিন্যাসের ট্রাঙ্কেট করা সংস্করণ হিসেবে গণ্য করা হয়, সেই ডেটার বিশ্লেষণ সর্বাধিক সম্ভাবনা (maximum likelihood) পদ্ধতি ব্যবহার করে করা যেতে পারে, যেখানে সম্ভাবনাটি ট্রাঙ্কেট করা বিন্যাসের বিন্যাস বা ঘনত্ব থেকে উদ্ভূত হবে। এর মধ্যে পরিবর্তিত ঘনত্ব ফাংশনে F(b)−F(a) ফ্যাক্টরটিকে বিবেচনায় নেওয়া অন্তর্ভুক্ত, যা মূল বিন্যাসের প্যারামিটারগুলোর ওপর নির্ভর করবে।

বাস্তবে, যদি ট্রাঙ্কেট করা অংশের পরিমাণ খুব কম হয়, তবে ডেটা বিশ্লেষণের সময় ট্রাঙ্কেশনের প্রভাব উপেক্ষা করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এমন ডেটা মডেল করার জন্য স্বাভাবিক বিন্যাস (normal distribution) ব্যবহার করা সাধারণ, যার মান কেবল ধনাত্মক হতে পারে কিন্তু যেখানে মানগুলোর সাধারণ পরিসর শূন্য থেকে অনেক দূরে। এমন ক্ষেত্রে, স্বাভাবিক বিন্যাসের একটি ট্রাঙ্কেট করা বা সেন্সর করা সংস্করণ আনুষ্ঠানিকভাবে পছন্দনীয় হতে পারে (যদিও এর বিকল্পও রয়েছে); তবে আরও জটিল বিশ্লেষণের ফলে ফলাফলে খুব সামান্যই পরিবর্তন আসবে। যাই হোক, ট্রাঙ্কেট করা ডেটার জন্য রিগ্রেশন মডেলের মতো মাঝারি জটিল মডেলগুলোর সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানের জন্য সফটওয়্যার সহজেই পাওয়া যায়।[3]

অর্থমিতিতে, ট্রাঙ্কেট করা নির্ভরশীল ভেরিয়েবল হলো এমন ভেরিয়েবল, যার জন্য নির্দিষ্ট পরিসরের কিছু মানের ক্ষেত্রে পর্যবেক্ষণ করা সম্ভব নয়।[4] এমন নির্ভরশীল ভেরিয়েবলযুক্ত রিগ্রেশন মডেলগুলোর জন্য বিশেষ সতর্কতার প্রয়োজন হয়, যা ভেরিয়েবলের ট্রাঙ্কেট করা প্রকৃতিকে সঠিকভাবে স্বীকৃতি দেয়। এমন ট্রাঙ্কেট করা রিগ্রেশন মডেলের অনুমান প্যারামেট্রিক,[5][6][7] অথবা সেমি- এবং নন-প্যারামেট্রিক কাঠামোর মাধ্যমে করা যেতে পারে।[8][9]

আরও দেখুন

তথ্যসূত্র

  1. ↑ Dodge, Y. (2003) The Oxford Dictionary of Statistical Terms. OUP. 0-19-920613-9
  2. ↑ Breen, Richard. (1996). Regression Models : Censored, Sample Selected, or Truncated Data. 111 2–4. Sage. ISBN 0-8039-5710-6.
  3. ↑ Wolynetz, M. S.. (1979). "Maximum Likelihood Estimation in a Linear Model from Confined and Censored Normal Data". Journal of the Royal Statistical Society. 28 (2) 195–206. doi:10.2307/2346749.
  4. ↑ Truncated Dependent Variables. About.com.
  5. ↑ Amemiya, T.. (1973). "Regression Analysis When the Dependent Variable is Truncated Normal". Econometrica. 41 (6) 997–1016. doi:10.2307/1914031.
  6. ↑ Heckman, James. (1976). The Common Structure of Statistical Models of Truncation, Sample Selection and Limited Dependent Variables and a Simple Estimator for Such Models. Annals of Economic and Social Measurement. 5 (4) 475–492.
  7. ↑ Vancak, V.; Goldberg, Y.; Bar-Lev, S. K.; Boukai, B.. (2015). "Continuous statistical models: With or without truncation parameters?". Mathematical Methods of Statistics. 24 (1) 55–73. doi:10.3103/S1066530715010044.
  8. ↑ (2002). Nonparametric Censored and Truncated Regression. Econometrica. 70 (2) 765–779. doi:10.1111/1468-0262.00304.
  9. ↑ (2008). Local Likelihood Estimation of Truncated Regression and its Partial Derivatives: Theory and Application. Journal of Econometrics. 146 (1) 185–198. doi:10.1016/j.jeconom.2008.08.007.

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Truncation (statistics)” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Truncation_(statistics) এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।

Retrieved from "https://ltrc.sciwiki.in/index.php?title=ট্রাঙ্কেশন_(পরিসংখ্যান)&oldid=3739"