গাণিতিক-জ্যামিতিক গড়

কয়েকটি সাধারণীকৃত গড়-এর মধ্যে গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় $\mathrm{agm}(1,x)$-এর লেখচিত্র।

গণিতে, দুইটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা x এবং y-এর গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় (AGM বা agM) হলো গাণিতিক গড় এবং জ্যামিতিক গড়-এর অনুক্রমের সাধারণ সীমা। গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় দ্রুত অ্যালগরিদমে সূচকীয়, ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, এবং অন্যান্য বিশেষ ফাংশন, সেইসাথে কিছু গাণিতিক ধ্রুবক, বিশেষ করে π গণনার ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

AGM-কে আন্তঃনির্ভরশীল অনুক্রম $a_i$ এবং $g_i$-এর সীমা হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। $x\ge y\ge 0$ ধরে নিয়ে, আমরা লিখি:$$\begin{array}{rl}{a}_0& =x,\\ g_0& =y\\ a_{n+1}& =\frac{1}{2}(a_n+g_n),\\ g_{n+1}& =\sqrt{a_n{g}_n}.\end{array}$$এই দুটি অনুক্রম একই সংখ্যায় অভিসারী হয়, যা x এবং y-এর গাণিতিক-জ্যামিতিক গড়; একে M(x, y) দ্বারা, অথবা কখনও কখনও agm(x, y) বা AGM(x, y) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

গাণিতিক-জ্যামিতিক গড়কে জটিল সংখ্যায় প্রসারিত করা যায় এবং যখন বর্গমূলের শাখাগুলো অসামঞ্জস্যপূর্ণভাবে নেওয়া হয়, তখন এটি একটি বহুমুখী ফাংশন হয়।

উদাহরণ

a₀ = 24 এবং g₀ = 6-এর গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় নির্ণয় করতে, নিম্নরূপ পুনরাবৃত্তি করুন:$$\begin{array}{rcccl}{a}_1& =& \frac{1}{2}(24+6)& =& 15\\ g_1& =& \sqrt{24\cdot 6}& =& 12\\ a_2& =& \frac{1}{2}(15+12)& =& 13.5\\ g_2& =& \sqrt{15\cdot 12}& =& 13.4164078649\dots \\ & & ⋮& & \end{array}$$প্রথম পাঁচটি পুনরাবৃত্তি নিচের মানগুলো প্রদান করে:

n	an	gn
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.416 407 864 998 738 178 455 042...
3	13.458 203 932 499 369 089 227 521...	13.458 139 030 990 984 877 207 090...
4	13.458 171 481 745 176 983 217 305...	13.458 171 481 706 053 858 316 334...
5	13.458 171 481 725 615 420 766 820...	13.458 171 481 725 615 420 766 806...

যে কয়টি অঙ্কে a_n এবং g_n মিলে যায় (আন্ডারলাইন করা), তা প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে প্রায় দ্বিগুণ হয়। 24 এবং 6-এর গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় হলো এই দুটি অনুক্রমের সাধারণ সীমা, যা প্রায় 13.4581714817256154207668131569743992430538388544।

ইতিহাস

এই অনুক্রম জোড়ার ওপর ভিত্তি করে প্রথম অ্যালগরিদমটি জোসেফ-লুই ল্যাগ্রাঞ্জ-এর কাজে দেখা যায়। এর বৈশিষ্ট্যগুলো পরবর্তীতে কার্ল ফ্রিডরিশ গাউস দ্বারা আরও বিশ্লেষণ করা হয়।

বৈশিষ্ট্য

দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার x এবং y-এর জ্যামিতিক গড় এবং গাণিতিক গড় উভয়ই ওই সংখ্যা দুটির মধ্যে অবস্থিত। (যখন x ≠ y হয়, তখন তারা *কঠোরভাবে* মাঝখানে থাকে।) দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার জ্যামিতিক গড় কখনোই গাণিতিক গড়ের চেয়ে বড় হয় না। সুতরাং জ্যামিতিক গড়গুলো একটি ক্রমবর্ধমান অনুক্রম g₀ ≤ g₁ ≤ g₂ ≤ ...; গাণিতিক গড়গুলো একটি ক্রমহ্রাসমান অনুক্রম a₀ ≥ a₁ ≥ a₂ ≥ ...; এবং যেকোনো n-এর জন্য g_n ≤ M(x, y) ≤ a_n। যদি x ≠ y হয়, তবে এগুলো কঠোর অসমতা।

সুতরাং M(x, y) হলো x এবং y-এর মধ্যবর্তী একটি সংখ্যা; এটি x এবং y-এর জ্যামিতিক ও গাণিতিক গড়ের মধ্যেও অবস্থিত।

যদি r ≥ 0 হয়, তবে M(rx, ry) = r M(x, y)।

M(x, y)-এর জন্য একটি সমাকলন-রূপ প্রকাশ রয়েছে:$$\begin{array}{rl}M(x,y)& =\frac{\pi }{2}{\left(\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }}\right)}^{-1}\\ & =\pi {\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{t(t+x^2)(t+y^2)}}\right)}^{-1}\\ & =\frac{\pi }{4}\cdot \frac{x+y}{K\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}\end{array}$$যেখানে K(k) হলো প্রথম প্রকারের সম্পূর্ণ উপবৃত্তীয় সমাকলন:$$K(k)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}$$যেহেতু গাণিতিক-জ্যামিতিক প্রক্রিয়াটি খুব দ্রুত অভিসারী হয়, তাই এটি উপবৃত্তীয় সমাকলন গণনার একটি কার্যকর উপায় প্রদান করে, যা উদাহরণস্বরূপ, উপবৃত্তীয় ফিল্টার ডিজাইনে ব্যবহৃত হয়।

গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় জ্যাকোবি থিটা ফাংশন ${\theta }_3$-এর সাথে সংযুক্ত$$\begin{array}{rl}M(1,x)& ={\theta }_3^{-2}(\exp (-\pi \frac{M(1,x)}{M(1,\sqrt{1-x^2})}))\\ & ={[\sum _{n\in \mathbb{\mathbb{Z}}}\exp (-n^2\pi \frac{M(1,x)}{M(1,\sqrt{1-x^2})})]}^{-2},\end{array}$$যা $x=1/\sqrt{2}$ সেট করলে দেয়$$M(1,1/\sqrt{2})={\left(\sum _{n\in \mathbb{\mathbb{Z}}}{e}^{-n^2\pi }\right)}^{-2}.$$

সম্পর্কিত ধারণা

1 এবং ২-এর বর্গমূল-এর গাণিতিক-জ্যামিতিক গড়ের অনন্যক হলো গাউসের ধ্রুবক।$$\frac{1}{M(1,\sqrt{2})}=G=0.8346268\dots$$1799 সালে, গাউস প্রমাণ করেন যে$$M(1,\sqrt{2})=\frac{\pi }{\varpi }$$যেখানে $\varpi$ হলো লেমনিস্কেট ধ্রুবক।

1941 সালে, $M(1,\sqrt{2})$ (এবং তাই $G$) থিওডোর স্নাইডার দ্বারা অতীন্দ্রিয় প্রমাণিত হয়। সেট $\{\pi ,M(1,1/\sqrt{2})\}$ হলো $\mathbb{\mathbb{Q}}$-এর ওপর বীজগণিতীয়ভাবে স্বাধীন, কিন্তু সেট $\{\pi ,M(1,1/\sqrt{2}),M^{\prime }(1,1/\sqrt{2})\}$ (যেখানে প্রাইম দ্বিতীয় চলকের সাপেক্ষে অন্তরজ নির্দেশ করে) $\mathbb{\mathbb{Q}}$-এর ওপর বীজগণিতীয়ভাবে স্বাধীন নয়। প্রকৃতপক্ষে,$$\pi =2\sqrt{2}\frac{M^3(1,1/\sqrt{2})}{M^{\prime }(1,1/\sqrt{2})}.$$জ্যামিতিক-হারমোনিক গড় GH জ্যামিতিক এবং হারমোনিক গড়ের অনুরূপ অনুক্রম ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে, এবং প্রকৃতপক্ষে 1= GH(x, y) = 1/M(1/x, 1/y) = xy/M(x, y)। গাণিতিক-হারমোনিক গড় জ্যামিতিক গড়ের সমতুল্য।

গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় ব্যবহার করে গণনা করা যায় – অন্যান্যগুলোর মধ্যে – লগারিদম, প্রথম ও দ্বিতীয় প্রকারের সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ উপবৃত্তীয় সমাকলন, এবং জ্যাকোবি উপবৃত্তীয় ফাংশন।

অস্তিত্বের প্রমাণ

গাণিতিক ও জ্যামিতিক গড়ের অসমতা নির্দেশ করে যে$$g_n\le a_n$$এবং তাই$$g_{n+1}=\sqrt{g_n\cdot a_n}\ge \sqrt{g_n\cdot g_n}=g_n$$অর্থাৎ, অনুক্রম g_n হলো অ-হ্রাসমান এবং x ও y-এর বৃহত্তরটি দ্বারা ঊর্ধ্বসীমায় আবদ্ধ। একঘেয়ে অভিসৃতি উপপাদ্য অনুযায়ী, অনুক্রমটি অভিসারী, তাই এমন একটি g বিদ্যমান যার জন্য:$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_n=g$$যাইহোক, আমরা আরও দেখতে পারি যে:$$a_n=\frac{g_{n+1}^2}{g_n}$$ এবং তাই: $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{g_{n+1}^2}{g_n}=\frac{g^2}{g}=g$$

Q.E.D.

সমাকলন-রূপ প্রকাশের প্রমাণ

এই প্রমাণটি গাউস প্রদান করেছেন। ধরি

$$I(x,y)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }},$$

সমাকলনের চলক ${\theta }^{\prime }$-এ পরিবর্তন করি, যেখানে

$$\begin{array}{rl}\sin \theta & =\frac{2x\sin {\theta }^{\prime }}{(x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }}\\ \Rightarrow d(\sin \theta )& =d\left(\frac{2x\sin {\theta }^{\prime }}{(x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }}\right)\\ \Rightarrow \cos \theta d\theta & =2x\frac{(x+y)-(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }{)}^2}\cos {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime }\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cos \theta & =\frac{\sqrt{(x+y{)}^2-2(x^2+y^2){\sin }^2{\theta }^{\prime }+(x-y{)}^2{\sin }^4{\theta }^{\prime }}}{(x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }}\\ & =\frac{\cos {\theta }^{\prime }\sqrt{(x-y{)}^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }+4xy{\sin }^2{\theta }^{\prime }}}{(x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }}\\ & =\frac{\cos {\theta }^{\prime }\sqrt{(x+y{)}^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }+4xy{\sin }^2{\theta }^{\prime }}}{(x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }},\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\Rightarrow \cos \theta d\theta & =\frac{\cos {\theta }^{\prime }\sqrt{(x+y{)}^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }+4xy{\sin }^2{\theta }^{\prime }}}{(x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }}d\theta \\ & =2x\frac{(x+y)-(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }{)}^2}\cos {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime },\end{array}$$

$$\Rightarrow d\theta =\frac{x((x+y)-(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })}\frac{2d{\theta }^{\prime }}{\sqrt{(x+y{)}^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }+4xy{\sin }^2{\theta }^{\prime }}},$$

Failed to parse (unknown function "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} \sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta} &= \frac{\sqrt}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')}\\ &= \frac{x \left((x+y)-(x-y)\sin^2\theta'\right)}{\left((x+y)+(x-y)\sin^2\theta'\right)} \end{align} }

এটি প্রদান করে $$\begin{array}{rl}\frac{d\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }}& =\frac{2d{\theta }^{\prime }}{\sqrt{(x+y{)}^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }+4xy{\sin }^2{\theta }^{\prime }}}\\ & =\frac{d{\theta }^{\prime }}{\sqrt{{\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }+{\left(\sqrt{xy}\right)}^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }}},\end{array}$$

প্রদান করে

$$\begin{array}{rl}I(x,y)& =\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d{\theta }^{\prime }}{\sqrt{{\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }+{\left(\sqrt{xy}\right)}^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }}}\\ & =I(\frac{x+y}{2},\sqrt{xy}).\end{array}$$

সুতরাং, আমাদের আছে

$$\begin{array}{rl}I(x,y)& =I(a_1,g_1)=I(a_2,g_2)=\cdots \\ & =I(M(x,y),M(x,y))=\frac{\pi }{2M(x,y)}.\end{array}$$ শেষ সমতাটি আসে এটি পর্যবেক্ষণ করে যে $I(z,z)=\pi /(2z)$।

অবশেষে, আমরা কাঙ্ক্ষিত ফলাফল পাই

$$M(x,y)=\frac{\pi }{2I(x,y)}.$$

প্রয়োগ

সংখ্যা π

গাউস-লিজেন্ডার অ্যালগরিদম অনুযায়ী,

$$\pi =\frac{4M(1,1/\sqrt{2}{)}^2}{1-\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{j+1}{c}_j^2},$$

যেখানে

$$c_j=\frac{1}{2}(a_{j-1}-g_{j-1}),$$

$a_0=1$ এবং $g_0=1/\sqrt{2}$ সহ, যা নির্ভুলতা না হারিয়ে গণনা করা যায়

$$c_j=\frac{c_{j-1}^2}{4a_j}.$$

সম্পূর্ণ উপবৃত্তীয় সমাকলন K(sinα)

$a_0=1$ এবং $g_0=\cos \alpha$ নিলে AGM পাওয়া যায়

$$M(1,\cos \alpha )=\frac{\pi }{2K(\sin \alpha )},$$

যেখানে K(k) হলো একটি সম্পূর্ণ উপবৃত্তীয় সমাকলন:

$$K(k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}.$$

অর্থাৎ এই কোয়ার্টার পিরিয়ড AGM-এর মাধ্যমে দক্ষতার সাথে গণনা করা যেতে পারে, $$K(k)=\frac{\pi }{2M(1,\sqrt{1-k^2})}.$$

অন্যান্য প্রয়োগ

AGM-এর এই বৈশিষ্ট্যের সাথে জন ল্যান্ডেন-এর আরোহী রূপান্তর ব্যবহার করে, রিচার্ড পি. ব্রেন্ট প্রাথমিক অতীন্দ্রিয় ফাংশন (e^x, cos x, sin x) দ্রুত মূল্যায়নের জন্য প্রথম AGM অ্যালগরিদম প্রস্তাব করেন। পরবর্তীতে, অনেক লেখক AGM অ্যালগরিদমের ব্যবহার নিয়ে গবেষণা চালিয়ে যান।

আরও দেখুন

• গাউস-লিজেন্ডার অ্যালগরিদম
• সাধারণীকৃত গড়
• ল্যান্ডেনের রূপান্তর

তথ্যসূত্র

উৎসসমূহ

• (2002). "Gauss-composition of means and the solution of the Matkowski–Suto problem". Publicationes Mathematicae Debrecen. 61 (1–2) 157–218. doi:10.5486/PMD.2002.2713.
• Arithmetic–geometric mean process
• Arithmetic-GeometricMean

descriptive

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Arithmetic–geometric mean” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic–geometric_mean এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।