ক্রুস্কাল-ওয়ালিস পরীক্ষা

From LTRC
ANOVA এবং ক্রুস্কাল-ওয়ালিস পরীক্ষার মধ্যে পার্থক্য

ক্রুস্কাল-ওয়ালিস পরীক্ষা (Kruskal–Wallis test) র‍্যাঙ্ক বা ক্রমভিত্তিক, যা ক্রুস্কাল-ওয়ালিস H পরীক্ষা (উইলিয়াম ক্রুস্কাল এবং ডব্লিউ. অ্যালেন ওয়ালিসের নামানুসারে) বা ওয়ান-ওয়ে অ্যানোভা অন র‍্যাঙ্কস নামেও পরিচিত, এটি একটি নন-প্যারামেট্রিক পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা, যা নমুনাগুলো একই বিন্যাস থেকে উদ্ভূত কি না তা পরীক্ষা করতে ব্যবহৃত হয়।[1][2][3] এটি সমান বা ভিন্ন আকারের দুই বা ততোধিক স্বাধীন নমুনা তুলনা করার জন্য ব্যবহৃত হয়। এটি ম্যান-হুইটনি U পরীক্ষা-এর একটি সম্প্রসারিত রূপ, যা শুধুমাত্র দুটি দলের তুলনা করার জন্য ব্যবহৃত হয়। ক্রুস্কাল-ওয়ালিস পরীক্ষার প্যারামেট্রিক সমতুল্য হলো ওয়ান-ওয়ে অ্যানালাইসিস অফ ভ্যারিয়েন্স (ANOVA)।

একটি তাৎপর্যপূর্ণ ক্রুস্কাল-ওয়ালিস পরীক্ষা নির্দেশ করে যে অন্তত একটি নমুনা অন্য একটি নমুনার ওপর স্টোকাস্টিক্যালি আধিপত্য বিস্তার করে। এই পরীক্ষাটি শনাক্ত করে না যে এই স্টোকাস্টিক আধিপত্য কোথায় ঘটে বা কতগুলো দলের জোড়ার মধ্যে এই আধিপত্য বিদ্যমান। স্টোকাস্টিক আধিপত্যের জন্য নির্দিষ্ট নমুনার জোড়াগুলো বিশ্লেষণ করতে ডান'স টেস্ট (Dunn's test),[4] বনফেরোনি কারেকশন সহ জোড়াবদ্ধ Mann–Whitney পরীক্ষা,[5] অথবা অধিক শক্তিশালী কিন্তু কম পরিচিত কনওভার-ইম্যান পরীক্ষা (Conover–Iman test)[5] মাঝে মাঝে ব্যবহৃত হয়।

এটি ধরে নেওয়া হয় যে চিকিৎসাগুলো প্রতিক্রিয়া স্তরকে উল্লেখযোগ্যভাবে প্রভাবিত করে এবং তারপর চিকিৎসাগুলোর মধ্যে একটি ক্রম থাকে: একটি সাধারণত সর্বনিম্ন প্রতিক্রিয়া দেয়, অন্যটি দ্বিতীয় সর্বনিম্ন প্রতিক্রিয়া দেয়, ইত্যাদি।[6] যেহেতু এটি একটি নন-প্যারামেট্রিক পদ্ধতি, তাই ক্রুস্কাল-ওয়ালিস পরীক্ষা রেসিডুয়ালের স্বাভাবিক বিন্যাস অনুমান করে না, যা অ্যানালগ ওয়ান-ওয়ে অ্যানালাইসিস অফ ভ্যারিয়েন্সের থেকে ভিন্ন। যদি গবেষক মধ্যমার পার্থক্য ব্যতীত সমস্ত দলের জন্য অভিন্ন আকৃতি এবং স্কেলের বিন্যাসের অনুমান করতে পারেন, তবে নাল হাইপোথিসিস হলো যে সমস্ত দলের মধ্যমা সমান, এবং বিকল্প হাইপোথিসিস হলো যে অন্তত একটি দলের পপুলেশন মধ্যমা অন্য অন্তত একটি দলের পপুলেশন মধ্যমা থেকে ভিন্ন। অন্যথায়, নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যানের কারণ অবস্থানের পরিবর্তন নাকি দলের বিচ্ছুরণ (dispersions), তা বলা অসম্ভব। এটি সেই একই সমস্যা যা ম্যান-হুইটনি পরীক্ষার ক্ষেত্রেও ঘটে।[7][8][9] যদি ডেটাতে সম্ভাব্য আউটলায়ার থাকে, যদি পপুলেশন বিন্যাসের লেজ ভারী হয়, অথবা যদি পপুলেশন বিন্যাস উল্লেখযোগ্যভাবে স্কিউড (skewed) হয়, তবে ক্রুস্কাল-ওয়ালিস পরীক্ষা চিকিৎসাগুলোর মধ্যে পার্থক্য শনাক্ত করার ক্ষেত্রে অ্যানোভা এফ-টেস্ট-এর চেয়ে বেশি শক্তিশালী। অন্যদিকে, যদি পপুলেশন বিন্যাস স্বাভাবিক বা হালকা লেজযুক্ত এবং প্রতিসম হয়, তবে অ্যানোভা এফ-টেস্ট সাধারণত অধিক শক্তিশালী হয়, যা নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করার সম্ভাবনা যখন এটি প্রকৃতপক্ষে প্রত্যাখ্যান করা উচিত।[10][11]

পদ্ধতি

টাইড মানগুলোকে র‍্যাঙ্কের গড় নির্ধারণ করার একটি চিত্র
  1. সমস্ত দলের ডেটা একসাথে র‍্যাঙ্ক করুন; অর্থাৎ, দলের সদস্যপদ উপেক্ষা করে 1 থেকে N পর্যন্ত ডেটা র‍্যাঙ্ক করুন। কোনো টাইড মান থাকলে সেগুলোকে তাদের র‍্যাঙ্কের গড় প্রদান করুন।
  2. টেস্ট স্ট্যাটিস্টিকটি নিম্নরূপ:
    H=(N−1)∑i=1gni(r¯i⋅−r¯)2∑i=1g∑j=1(rij−r¯)2, যেখানে
    • N হলো সমস্ত দল জুড়ে পর্যবেক্ষণের মোট সংখ্যা
    • g হলো দলের সংখ্যা
    • ni হলো দল i-এ পর্যবেক্ষণের সংখ্যা
    • rij হলো দল i থেকে পর্যবেক্ষণ j-এর র‍্যাঙ্ক (সমস্ত পর্যবেক্ষণের মধ্যে)
    • r¯i⋅=∑j=1nirijni হলো দল i-এর সমস্ত পর্যবেক্ষণের গড় র‍্যাঙ্ক
    • r¯=12(N+1) হলো সমস্ত rij-এর গড়।
  3. যদি ডেটাতে কোনো টাই (ties) না থাকে, তবে H-এর অভিব্যক্তির হরটি ঠিক (N−1)N(N+1)/12 এবং r¯=N+12 হয়। সুতরাং
    H=12N(N+1)∑i=1gni(r¯i⋅−N+12)2=12N(N+1)∑i=1gnir¯i⋅2− 3(N+1)
    শেষের সূত্রটিতে শুধুমাত্র গড় র‍্যাঙ্কের বর্গ থাকে।
  4. পূর্ববর্তী পয়েন্টে বর্ণিত শর্ট-কাট সূত্র ব্যবহার করলে টাই-এর জন্য একটি সংশোধন করা যেতে পারে H-কে 1−∑i=1G(ti3−ti)N3−N দ্বারা ভাগ করে, যেখানে G হলো বিভিন্ন টাইড র‍্যাঙ্কের গ্রুপিংয়ের সংখ্যা এবং ti হলো দল i-এর মধ্যে টাইড মানের সংখ্যা। এই সংশোধনটি সাধারণত H-এর মানে খুব কম পার্থক্য তৈরি করে যদি না প্রচুর পরিমাণে টাই থাকে।
  5. একাধিক নমুনা তুলনা করার সময়, type I error বৃদ্ধি পাওয়ার প্রবণতা থাকে। অতএব, তাৎপর্যের স্তর সামঞ্জস্য করতে বনফেরোনি পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়, অর্থাৎ a¯=αk, যেখানে a¯ হলো সমন্বিত তাৎপর্যের স্তর, α হলো প্রাথমিক তাৎপর্যের স্তর এবং k হলো বৈপরীত্যের (contrasts) সংখ্যা।[12]
  6. পরিশেষে, নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান বা গ্রহণ করার সিদ্ধান্তটি H-কে একটি নির্দিষ্ট তাৎপর্য বা আলফা স্তরের জন্য একটি ক্রিটিক্যাল ভ্যালু Hc-এর (টেবিল বা সফটওয়্যার থেকে প্রাপ্ত) সাথে তুলনা করে নেওয়া হয়। যদি H, Hc-এর চেয়ে বড় হয়, তবে নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করা হয়। যদি সম্ভব হয় (কোনো টাই নেই, নমুনা খুব বড় নয়), তবে H-কে H-এর সঠিক বিন্যাস থেকে প্রাপ্ত ক্রিটিক্যাল ভ্যালুর সাথে তুলনা করা উচিত। অন্যথায়, H-এর বিন্যাসকে g−1 ডিগ্রি অফ ফ্রিডম সহ একটি কাই-স্কয়ার বিন্যাস দ্বারা অনুমান করা যেতে পারে। যদি কিছু ni মান ছোট হয় (অর্থাৎ ৫-এর কম), তবে H-এর সঠিক সম্ভাব্যতা বিন্যাস এই কাই-স্কয়ার বিন্যাস থেকে বেশ আলাদা হতে পারে। যদি কাই-স্কয়ার সম্ভাব্যতা বিন্যাসের একটি টেবিল উপলব্ধ থাকে, তবে কাই-স্কয়ারের ক্রিটিক্যাল ভ্যালু, χα:g−12, টেবিলের g−1 ডিগ্রি অফ ফ্রিডম-এ প্রবেশ করে এবং কাঙ্ক্ষিত তাৎপর্য বা আলফা স্তরের অধীনে দেখে পাওয়া যেতে পারে।[13]
  7. যদি স্ট্যাটিস্টিকটি তাৎপর্যপূর্ণ না হয়, তবে নমুনাগুলোর মধ্যে স্টোকাস্টিক আধিপত্যের কোনো প্রমাণ নেই। যাইহোক, যদি পরীক্ষাটি তাৎপর্যপূর্ণ হয়, তবে অন্তত একটি নমুনা অন্য একটি নমুনার ওপর স্টোকাস্টিক্যালি আধিপত্য বিস্তার করে। সেক্ষেত্রে, একজন গবেষক পৃথক নমুনার জোড়ার মধ্যে নমুনা বৈপরীত্য ব্যবহার করতে পারেন, অথবা ডান'স টেস্ট ব্যবহার করে post hoc পরীক্ষা করতে পারেন, যা (১) সঠিকভাবে ক্রুস্কাল-ওয়ালিস পরীক্ষার মতো একই র‍্যাঙ্কিং ব্যবহার করে এবং (২) কোন নমুনার জোড়াগুলো উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন তা নির্ধারণ করার জন্য ক্রুস্কাল-ওয়ালিস পরীক্ষার নাল হাইপোথিসিস দ্বারা নিহিত পুলড ভ্যারিয়েন্স (pooled variance) সঠিকভাবে ব্যবহার করে।[4] একাধিক নমুনা বৈপরীত্য বা পরীক্ষা করার সময়, টাইপ I ত্রুটির হার বৃদ্ধি পাওয়ার প্রবণতা থাকে, যা একাধিক তুলনা সংক্রান্ত উদ্বেগ বাড়ায়।

সঠিক সম্ভাব্যতা টেবিল

ক্রুস্কাল-ওয়ালিস পরীক্ষার জন্য সঠিক সম্ভাব্যতা গণনা করতে প্রচুর কম্পিউটিং সম্পদের প্রয়োজন হয়। বিদ্যমান সফটওয়্যার শুধুমাত্র ৩০ জনের কম অংশগ্রহণকারীর নমুনার আকারের জন্য সঠিক সম্ভাব্যতা প্রদান করে। এই সফটওয়্যার প্রোগ্রামগুলো বড় নমুনার আকারের জন্য অ্যাসিপটোটিক অনুমানের ওপর নির্ভর করে। বড় নমুনার আকারের জন্য সঠিক সম্ভাব্যতা মান উপলব্ধ। স্পুরিয়ার (২০০৩) ৪৫ জন অংশগ্রহণকারী পর্যন্ত নমুনার জন্য সঠিক সম্ভাব্যতা টেবিল প্রকাশ করেছেন।[14] মেয়ার এবং সিমান (২০০৬) ১০৫ জন অংশগ্রহণকারী পর্যন্ত নমুনার জন্য সঠিক সম্ভাব্যতা বিন্যাস তৈরি করেছেন।[15]

H-এর সঠিক বিন্যাস

চোই এবং অন্যান্যরা[16] H-এর সঠিক বিন্যাস গণনা করার জন্য তৈরি দুটি পদ্ধতির পর্যালোচনা করেছেন, একটি নতুন পদ্ধতির প্রস্তাব করেছেন এবং সঠিক বিন্যাসটিকে এর কাই-স্কয়ার অনুমানের সাথে তুলনা করেছেন।

উদাহরণ

মাস অনুযায়ী ওজোন স্তরের পার্থক্যের জন্য পরীক্ষা

নিম্নলিখিত উদাহরণটি চেম্বারস এবং অন্যান্যদের ডেটা ব্যবহার করে[17] নিউ ইয়র্ক সিটিতে ১ মে থেকে ৩০ সেপ্টেম্বর, ১৯৭৩ পর্যন্ত ওজোনের দৈনিক রিডিংয়ের ওপর। ডেটাগুলো R ডেটাসেট airquality-তে রয়েছে এবং বিশ্লেষণটি R ফাংশন kruskal.test-এর ডকুমেন্টেশনে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। মাস অনুযায়ী ওজোন মানের বক্সপ্লটগুলো চিত্রে দেখানো হয়েছে।

ক্রুস্কাল-ওয়ালিস পরীক্ষা একটি তাৎপর্যপূর্ণ পার্থক্য (p = 6.901e-06) খুঁজে পায় যা নির্দেশ করে যে ৫ মাস ধরে ওজোনের মাত্রা ভিন্ন। 

kruskal.test(Ozone ~ Month, data = airquality)

	Kruskal-Wallis rank sum test

data:  Ozone by Month
Kruskal-Wallis chi-squared = 29.267, df = 4, p-value = 6.901e-06

কোন মাসগুলো ভিন্ন তা নির্ধারণ করতে, একাধিক হাইপোথিসিস পরীক্ষার জন্য বনফেরোনি (বা অন্য) কারেকশন সহ প্রতিটি মাসের জোড়ার জন্য একটি Wilcoxon rank-sum test ব্যবহার করে পোস্ট-হক পরীক্ষা করা যেতে পারে। 

pairwise.wilcox.test(airquality$Ozone, airquality$Month, p.adjust.method = "bonferroni")

	Pairwise comparisons using Wilcoxon rank sum test

data:  airquality$Ozone and airquality$Month

  5      6      7      8
6 1.0000 -      -      -
7 0.0003 0.1414 -      -
8 0.0012 0.2591 1.0000 -
9 1.0000 1.0000 0.0074 0.0325

P value adjustment method: bonferroni

পোস্ট-হক পরীক্ষাগুলো নির্দেশ করে যে, একাধিক পরীক্ষার জন্য বনফেরোনি কারেকশনের পর, নিম্নলিখিত পার্থক্যগুলো তাৎপর্যপূর্ণ (সমন্বিত p < 0.05)।

  • মাস ৫ বনাম মাস ৭ এবং ৮
  • মাস ৯ বনাম মাস ৭ এবং ৮

বাস্তবায়ন

ক্রুস্কাল-ওয়ালিস পরীক্ষা অনেক প্রোগ্রামিং টুল এবং ভাষায় বাস্তবায়ন করা যেতে পারে। নিম্নলিখিত open source ফ্রি সফটওয়্যার প্যাকেজগুলো বিদ্যমান:

  • পাইথন-এর SciPy প্যাকেজে, scipy.stats.kruskal ফাংশনটি পরীক্ষার ফলাফল এবং p-মান প্রদান করতে পারে।[18]
  • R বেস-প্যাকেজে kruskal.test ব্যবহার করে এই পরীক্ষার একটি বাস্তবায়ন রয়েছে।[19]
  • jamovi ANOVA মেনুতে এই বিশ্লেষণটি বাস্তবায়ন করেছে।[20]
  • জাভা-তে Apache Commons দ্বারা প্রদত্ত বাস্তবায়ন রয়েছে।[21]
  • জুলিয়া-তে, HypothesisTests.jl প্যাকেজে p-মান গণনা করার জন্য KruskalWallisTest(groups::AbstractVector{<:Real}...) ফাংশনটি রয়েছে।[22]

আরও দেখুন

তথ্যসূত্র

  1. ↑ Kruskal; Wallis. (1952). "Use of ranks in one-criterion variance analysis". Journal of the American Statistical Association. 47 (260) 583–621. doi:10.1080/01621459.1952.10483441.
  2. ↑ Corder, Gregory W.; Foreman, Dale I.. (2009). Nonparametric Statistics for Non-Statisticians. 99–105. John Wiley & Sons. ISBN 9780470454619.
  3. ↑ Siegel; Castellan. (1988). "Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences". McGraw–Hill. ISBN 0070573573.
  4. ↑ 4.0 4.1 Dunn, Olive Jean. (1964). "Multiple comparisons using rank sums". Technometrics. 6 (3) 241–252. doi:10.2307/1266041.
  5. ↑ 5.0 5.1 (1979). "On multiple-comparisons procedures". Los Alamos Scientific Laboratory.
  6. ↑ Lehmann, E. L., & D'Abrera, H. J. (1975). Nonparametrics: Statistical methods based on ranks. Holden-Day.
  7. ↑ Divine; Norton; Barón; Juarez-Colunga. (2018). "The Wilcoxon–Mann–Whitney Procedure Fails as a Test of Medians". The American Statistician. doi:10.1080/00031305.2017.1305291.
  8. ↑ Hart. (2001). "Mann-Whitney test is not just a test of medians: differences in spread can be important". BMJ. doi:10.1136/bmj.323.7309.391.
  9. ↑ Bruin. (2006). "FAQ: Why is the Mann-Whitney significant when the medians are equal?". UCLA: Statistical Consulting Group.
  10. ↑ Higgins, James J.; Jeffrey Higgins, James. (2004). "An introduction to modern nonparametric statistics". Brooks-Cole; Thomson Learning. ISBN 978-0-534-38775-4.
  11. ↑ Berger, Paul D.; Maurer, Robert E.; Celli, Giovana B.. (2018). Experimental Design. Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-64582-7. doi:10.1007/978-3-319-64583-4.
  12. ↑ Corder, G.W. & Foreman, D.I. (2010). Nonparametric Statistics for Non-statisticians: A Step-by-Step Approach. Hoboken, NJ: Wiley.
  13. ↑ Montgomery, Douglas C.; Runger, George C.. (2018). "Applied statistics and probability for engineers". Wiley. ISBN 978-1-119-40036-3.
  14. ↑ Spurrier, J. D.. (2003). "On the null distribution of the Kruskal–Wallis statistic". Journal of Nonparametric Statistics. 15 (6) 685–691. doi:10.1080/10485250310001634719.
  15. ↑ Meyer; Seaman. (April 2006). "Expanded tables of critical values for the Kruskal–Wallis H statistic". Paper presented at the annual meeting of the American Educational Research Association, San Francisco. ক্রিটিক্যাল ভ্যালু টেবিল এবং মেয়ার ও সিমানের সঠিক সম্ভাব্যতা http://faculty.virginia.edu/kruskal-wallis/ সংরক্ষিত সংস্করণ থেকে ডাউনলোডের জন্য উপলব্ধ। তাদের কাজের বর্ণনা সম্বলিত একটি গবেষণাপত্রও সেখানে পাওয়া যেতে পারে।
  16. ↑ Won Choi, Jae Won Lee, Myung-Hoe Huh, and Seung-Ho Kang. (2003). "An Algorithm for Computing the Exact Distribution of the Kruskal–Wallis Test". Communications in Statistics - Simulation and Computation. (32, number 4) 1029–1040. doi:10.1081/SAC-120023876.
  17. ↑ John M. Chambers, William S. Cleveland, Beat Kleiner, and Paul A. Tukey. (1983). "Graphical Methods for Data Analysis". Wadsworth International Group, Duxbury Press. ISBN 053498052X.
  18. ↑ scipy.stats.kruskal — SciPy v1.11.4 Manual. docs.scipy.org.
  19. ↑ kruskal.test function - RDocumentation. www.rdocumentation.org.
  20. ↑ Jamovi documentation.. jamovi.org.
  21. ↑ Math – The Commons Math User Guide - Statistics. commons.apache.org.
  22. ↑ Nonparametric tests · HypothesisTests.jl. juliastats.org.

আরও পড়ুন

  • Daniel, Wayne W.. (1990). Applied Nonparametric Statistics. 226–234. PWS-Kent. ISBN 0-534-91976-6.
  • Chicco D.. (2025). "A simple guide to the use of Student's t-test, Mann-Whitney U test, Chi-squared test, and Kruskal-Wallis test in biostatistics". BioData Mining. 18 (56) 1–51. doi:10.1186/s13040-025-00465-6.

বহিঃসংযোগ

collapsed

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Kruskal–Wallis test” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal–Wallis_test এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।

Retrieved from "https://ltrc.sciwiki.in/index.php?title=ক্রুস্কাল-ওয়ালিস_পরীক্ষা&oldid=3198"