ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশন

From LTRC
Revision as of 16:03, 6 October 2026 by Sourav001 (talk | contribs) (ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Elliptical distribution” নিবন্ধের বাংলা অনুবাদ)
(diff) ← Older revision | Latest revision (diff) | Newer revision → (diff)

সম্ভাবনা (probability) এবং পরিসংখ্যান (statistics)-এ, ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশন (elliptical distribution) হলো সম্ভাবনা বিন্যাস (probability distribution)-এর একটি বিস্তৃত পরিবারের সদস্য, যা মাল্টিভ্যারিয়েট নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন-কে সাধারণীকরণ করে। সরলীকৃত দুই এবং তিন মাত্রিক ক্ষেত্রে, যৌথ বিন্যাসটি আইসো-ডেনসিটি প্লটে যথাক্রমে একটি উপবৃত্ত (ellipse) এবং একটি উপবৃত্তক (ellipsoid) গঠন করে।

পরিসংখ্যান-এ, নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন 'চিরায়ত' মাল্টিভ্যারিয়েট বিশ্লেষণ-এ ব্যবহৃত হয়, যেখানে ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনগুলো 'সাধারণীকৃত' মাল্টিভ্যারিয়েট বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়। এটি এমন প্রতিসম বিন্যাস অধ্যয়নের জন্য ব্যবহৃত হয় যার লেজগুলো হেভি টেইল (heavy tail) যুক্ত, যেমন মাল্টিভ্যারিয়েট টি-ডিস্ট্রিবিউশন, অথবা নরমাল ডিস্ট্রিবিউশনের তুলনায় হালকা। কিছু পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি যা মূলত নরমাল ডিস্ট্রিবিউশনের অধ্যয়নের মাধ্যমে অনুপ্রাণিত হয়েছিল, সেগুলো সাধারণ ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনের (সসীম ভেদাঙ্কসহ) ক্ষেত্রে ভালো কাজ করে, বিশেষ করে স্ফেরিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনের (যা নিচে সংজ্ঞায়িত) জন্য। ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনগুলো প্রস্তাবিত মাল্টিভ্যারিয়েট-পরিসংখ্যানগত পদ্ধতিগুলো মূল্যায়ন করার জন্য রবাস্ট পরিসংখ্যান (robust statistics)-এও ব্যবহৃত হয়।

সংজ্ঞা

ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনগুলোকে সম্ভাবনা তত্ত্বের ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশন (characteristic function)-এর মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি ইউক্লিডীয় স্থান-এর ওপর একটি র‍্যান্ডম ভেক্টর X-এর একটি 'ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশন' থাকে যদি এর ক্যারেক্টারিস্টিক ফাংশন ϕ নিম্নলিখিত ফাংশনাল ইকুয়েশন (প্রতিটি কলাম-ভেক্টর t-এর জন্য) মেনে চলে:

ϕX−μ(t)=ψ(t′Σt)

কিছু লোকেশন প্যারামিটার μ, কিছু নন-নেগেটিভ ডেফিনিট ম্যাট্রিক্স Σ এবং কিছু স্কেলার ফাংশন ψ-এর জন্য।[1] বাস্তব র‍্যান্ডম-ভেক্টরের জন্য ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনের সংজ্ঞাটি কমপ্লেক্স নাম্বার-এর ফিল্ড-এর ওপর ইউক্লিডীয় স্থানে র‍্যান্ডম ভেক্টরগুলোকে অন্তর্ভুক্ত করার জন্য প্রসারিত করা হয়েছে, যা টাইম-সিরিজ বিশ্লেষণ-এ প্রয়োগ সহজতর করে।[2] ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশন থেকে সিউডো-র‍্যান্ডম নাম্বার ভেক্টর তৈরির জন্য কম্পিউটেশনাল পদ্ধতি উপলব্ধ রয়েছে, যা উদাহরণস্বরূপ মন্টে কার্লো পদ্ধতি-র কম্পিউটার সিমুলেশন-এ ব্যবহারের জন্য ব্যবহৃত হয়।[3]

কিছু ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনকে বিকল্পভাবে তাদের ডেনসিটি ফাংশন-এর মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি ডেনসিটি ফাংশন f বিশিষ্ট ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনের রূপটি হলো:

f(x)=k⋅g((x−μ)′Σ−1(x−μ))

যেখানে k হলো নরমালাইজিং কনস্ট্যান্ট, x হলো একটি n-মাত্রিক র‍্যান্ডম ভেক্টর যার মিডিয়ান ভেক্টর μ (যা গড় ভেক্টরও বটে যদি তা বিদ্যমান থাকে), এবং Σ হলো একটি পজিটিভ ডেফিনিট ম্যাট্রিক্স যা কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স-এর সমানুপাতিক (যদি তা বিদ্যমান থাকে)।[4]

উদাহরণ

উদাহরণগুলোর মধ্যে নিম্নলিখিত মাল্টিভ্যারিয়েট সম্ভাবনা বিন্যাসগুলো অন্তর্ভুক্ত:

বৈশিষ্ট্য

২-মাত্রিক ক্ষেত্রে, যদি ডেনসিটি বিদ্যমান থাকে, তবে প্রতিটি আইসো-ডেনসিটি লোকাস (x1, x2 জোড়ার সেট যা f(x)-এর একটি নির্দিষ্ট মান প্রদান করে) হলো একটি উপবৃত্ত বা উপবৃত্তের সমষ্টি (এ কারণেই এর নাম ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশন)। আরও সাধারণভাবে, যেকোনো n-এর জন্য, আইসো-ডেনসিটি লোকাসগুলো হলো উপবৃত্তক-এর সমষ্টি। এই সমস্ত উপবৃত্তক বা উপবৃত্তের কেন্দ্র একই বিন্দু μ-তে অবস্থিত এবং এগুলো একে অপরের স্কেল করা অনুলিপি (homothets)।

মাল্টিভ্যারিয়েট নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন হলো একটি বিশেষ ক্ষেত্র যেখানে g(z)=e−z/2। যদিও মাল্টিভ্যারিয়েট নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন অসীম (যেহেতু e−z/2>0 সকল অ-ঋণাত্মক z-এর জন্য, তাই x-এর প্রতিটি উপাদান অ-শূন্য সম্ভাবনার সাথে ইচ্ছামতো বড় ধনাত্মক বা ঋণাত্মক মান নিতে পারে), সাধারণভাবে ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনগুলো সীমাবদ্ধ বা অসীম হতে পারে—এমন একটি বিন্যাস সীমাবদ্ধ হয় যদি কোনো নির্দিষ্ট মানের চেয়ে বড় সকল z-এর জন্য g(z)=0 হয়।

এমন কিছু ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশন রয়েছে যার গড় (mean) অনির্ধারিত, যেমন কশি ডিস্ট্রিবিউশন (এমনকি এক-মাত্রিক ক্ষেত্রেও)। যেহেতু চলক x ডেনসিটি ফাংশনে দ্বিঘাত আকারে প্রবেশ করে, তাই সমস্ত ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশন μ-এর সাপেক্ষে প্রতিসম (symmetric)।

যদি একটি যৌথভাবে ইলিপটিক্যাল র‍্যান্ডম ভেক্টরের দুটি উপসেট অ-সহসম্বন্ধিত (uncorrelated) হয়, তবে তাদের গড় বিদ্যমান থাকলে তারা একে অপরের থেকে গড় স্বাধীন (mean independent) হয় (অন্য উপসেটের মানের সাপেক্ষে প্রতিটি উপভেক্টরের শর্তাধীন গড় তাদের নিঃশর্ত গড়ের সমান)।[8]p. 748

যদি র‍্যান্ডম ভেক্টর X ইলিপটিক্যালি বিন্যস্ত হয়, তবে পূর্ণ রো র‍্যাঙ্ক বিশিষ্ট যেকোনো ম্যাট্রিক্স D-এর জন্য DX-ও তাই হবে। সুতরাং X-এর উপাদানগুলোর যেকোনো রৈখিক সংমিশ্রণ ইলিপটিক্যাল (যদিও একই ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশন হতে হবে এমন নয়), এবং X-এর যেকোনো উপসেট ইলিপটিক্যাল।[8]p. 748

প্রয়োগ

ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনগুলো পরিসংখ্যান এবং অর্থনীতিতে ব্যবহৃত হয়। এগুলো মহাকাশযানের ল্যান্ডিং ফুটপ্রিন্ট গণনা করতেও ব্যবহৃত হয়।

গাণিতিক অর্থনীতিতে, ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনগুলো গাণিতিক অর্থশাস্ত্র-এ পোর্টফোলিও তত্ত্ব বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়েছে।[9][10]

পরিসংখ্যান: সাধারণীকৃত মাল্টিভ্যারিয়েট বিশ্লেষণ

Generalized multivariate analysis

পরিসংখ্যান-এ, গাউসের মাল্টিভ্যারিয়েট নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন 'চিরায়ত' মাল্টিভ্যারিয়েট বিশ্লেষণ-এ ব্যবহৃত হয়, যেখানে অনুমান এবং হাইপোথিসিস-টেস্টিংয়ের বেশিরভাগ পদ্ধতি নরমাল ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য অনুপ্রাণিত। চিরায়ত মাল্টিভ্যারিয়েট বিশ্লেষণের বিপরীতে, 'সাধারণীকৃত' মাল্টিভ্যারিয়েট বিশ্লেষণ বলতে নরমালিটির সীমাবদ্ধতা ছাড়াই ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশন নিয়ে গবেষণাকে বোঝায়।

উপযুক্ত ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য, কিছু চিরায়ত পদ্ধতি ভালো বৈশিষ্ট্য বজায় রাখে।[11][12] সসীম-ভেদাঙ্ক অনুমানের অধীনে, কোচরানের উপপাদ্য-এর (কোয়াড্র্যাটিক ফর্মের বিন্যাসের ওপর) একটি সম্প্রসারণ কার্যকর থাকে।[13]

স্ফেরিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশন

শূন্য গড় এবং αI আকারের ভেদাঙ্ক বিশিষ্ট একটি ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনকে, যেখানে I হলো আইডেন্টিটি-ম্যাট্রিক্স, 'স্ফেরিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশন' বলা হয়।[14] স্ফেরিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য, প্যারামিটার-এস্টিমেশন এবং হাইপোথিসিস-টেস্টিংয়ের চিরায়ত ফলাফলগুলো সম্প্রসারিত করা হয়েছে।[15][16] একই ধরনের ফলাফল রৈখিক মডেল-এর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য,[17] এবং প্রকৃতপক্ষে জটিল মডেলগুলোর (বিশেষ করে গ্রোথ কার্ভ মডেল) ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। মাল্টিভ্যারিয়েট মডেলের বিশ্লেষণে মাল্টিলিনিয়ার বীজগণিত (বিশেষ করে ক্রোনেকার প্রোডাক্ট এবং ভেক্টরাইজেশন) এবং ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলাস ব্যবহৃত হয়।[12][18][19]

রবাস্ট পরিসংখ্যান: অ্যাসিপটোটিক্স

ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনের আরেকটি ব্যবহার হলো রবাস্ট পরিসংখ্যান-এ, যেখানে গবেষকরা পরীক্ষা করেন যে পরিসংখ্যানগত পদ্ধতিগুলো ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনের শ্রেণিতে কেমন কাজ করে, যাতে আরও সাধারণ সমস্যার ক্ষেত্রে পদ্ধতিগুলোর কার্যকারিতা সম্পর্কে অন্তর্দৃষ্টি পাওয়া যায়,[20] উদাহরণস্বরূপ পরিসংখ্যানের অ্যাসিপটোটিক তত্ত্ব ("অ্যাসিপটোটিক্স") ব্যবহার করে।[21]

অর্থনীতি এবং অর্থসংস্থান

ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনগুলো পোর্টফোলিও তত্ত্ব-এ গুরুত্বপূর্ণ কারণ, যদি পোর্টফোলিও গঠনের জন্য উপলব্ধ সমস্ত সম্পদের রিটার্ন যৌথভাবে ইলিপটিক্যালি বিন্যস্ত হয়, তবে সমস্ত পোর্টফোলিওকে তাদের অবস্থান এবং স্কেল দ্বারা সম্পূর্ণরূপে চিহ্নিত করা যায়—অর্থাৎ, পোর্টফোলিও রিটার্নের অভিন্ন অবস্থান এবং স্কেল বিশিষ্ট যেকোনো দুটি পোর্টফোলিওর পোর্টফোলিও রিটার্নের বিন্যাস অভিন্ন।[22][8] পোর্টফোলিও বিশ্লেষণের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য, যার মধ্যে মিউচুয়াল ফান্ড সেপারেশন থিওরেম এবং ক্যাপিটাল অ্যাসেট প্রাইসিং মডেল অন্তর্ভুক্ত, সমস্ত ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য কার্যকর।[8]p. 748

নোট

  1. ↑ 1981
  2. ↑ 1990
  3. ↑ 1987: Johnson, Mark E.. (1987). "Multivariate statistical simulation: A guide to selecting and generating continuous multivariate distributions". John Wiley and Sons., "an admirably lucid discussion" according to 1990.
  4. ↑ Frahm, G., Junker, M., & Szimayer, A. (2003). Elliptical copulas: Applicability and limitations. Statistics & Probability Letters, 63(3), 275–286.
  5. ↑ Nolan, John. (September 29, 2014). Multivariate stable densities and distribution functions: general and elliptical case.
  6. ↑ Pascal, F.. (2013). "Parameter Estimation For Multivariate Generalized Gaussian Distributions". IEEE Transactions on Signal Processing. 61 (23) 5960–5971. doi:10.1109/TSP.2013.2282909.
  7. ↑ 7.0 7.1 Schmidt, Rafael. (2012). "Credit Risk: Measurement, Evaluation and Management". 274. Springer. ISBN 9783642593659.
  8. ↑ 8.0 8.1 8.2 8.3 1983
  9. ↑ (Gupta, Varga, Bodnar, 2013)
  10. ↑ (Chamberlain 1983; Owen and Rabinovitch 1983)
  11. ↑ 2004
  12. ↑ 12.0 12.1 1990
  13. ↑ 1990
  14. ↑ 1990
  15. ↑ 1990
  16. ↑ 1990
  17. ↑ 1990
  18. ↑ 2007
  19. ↑ 2005
  20. ↑ (1989). "Robustness of statistical tests". Academic Press. ISBN 0123982308.
  21. ↑ 2005
  22. ↑ 1983

তথ্যসূত্র

  • Anderson, T. W.. (2004). "An introduction to multivariate statistical analysis". John Wiley and Sons. ISBN 9789812530967.
  • (1981). "On the theory of elliptically contoured distributions". Journal of Multivariate Analysis. 11 (3) 368–385. doi:10.1016/0047-259x(81)90082-8.
  • (February 1983). "A characterization of the distributions that imply mean—Variance utility functions". Journal of Economic Theory. 29 (1) 185–201. doi:10.1016/0022-0531(83)90129-1.
  • (1990). "Generalized multivariate analysis". Science Press (Beijing) and Springer-Verlag (Berlin). ISBN 3540176519.
  • (1990). "Symmetric multivariate and related distributions". 36. Chapman and Hall. ISBN 0-412-314-304.
  • (2013). "Elliptically contoured models in statistics and portfolio theory". Springer-Verlag. ISBN 978-1-4614-8153-9. doi:10.1007/978-1-4614-8154-6.
    Originally (1993). "Elliptically contoured models in statistics". Kluwer Academic Publishers. ISBN 0792326083.
  • (2005). "Advanced multivariate statistics with matrices". Springer. ISBN 978-1-4020-3418-3.
  • (June 1983). "On the Class of Elliptical Distributions and their Applications to the Theory of Portfolio Choice". The Journal of Finance. 38 (3) 745–752. doi:10.2307/2328079.
  • (2007). Growth curve models and statistical diagnostics. Science Press (Beijing) and Springer-Verlag (New York). ISBN 9780387950532. doi:10.1007/978-0-387-21812-0.

আরও পড়ুন

  • (1990). "Statistical inference in elliptically contoured and related distributions". Allerton Press. ISBN 0898640482. A collection of papers.

families analysis

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Elliptical distribution” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptical_distribution এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।

Retrieved from "https://ltrc.sciwiki.in/index.php?title=ইলিপটিক্যাল_ডিস্ট্রিবিউশন&oldid=3149"