Sourav001: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Arithmetic–geometric mean” নিবন্ধের বাংলা অনুবাদ

2026-10-06T07:37:24Z

ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Arithmetic–geometric mean” নিবন্ধের বাংলা অনুবাদ

New page

[[File:Generalized means + agm.png|400px|thumb|right|কয়েকটি [[সাধারণীকৃত গড়]]-এর মধ্যে গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় <math>\operatorname{agm}(1,x)</math>-এর লেখচিত্র।]]
[[গণিত|গণিতে]], দুইটি [[ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা]] ''x'' এবং ''y''-এর '''গাণিতিক-জ্যামিতিক গড়''' (AGM বা agM<ref name="Cox" />) হলো [[গাণিতিক গড়]] এবং [[জ্যামিতিক গড়]]-এর অনুক্রমের সাধারণ সীমা। গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় দ্রুত [[অ্যালগরিদম|অ্যালগরিদমে]] [[সূচকীয় ফাংশন|সূচকীয়]], [[ত্রিকোণমিতিক ফাংশন]], এবং অন্যান্য [[বিশেষ ফাংশন]], সেইসাথে কিছু [[গাণিতিক ধ্রুবক]], বিশেষ করে π [[গণনা|গণনার]] ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

AGM-কে আন্তঃনির্ভরশীল [[অনুক্রম]] <math>a_i</math> এবং <math>g_i</math>-এর সীমা হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। <math> x \geq y \geq 0</math> ধরে নিয়ে, আমরা লিখি:<math display=block>\begin{align}
a_0 &= x,\\
g_0 &= y\\
a_{n+1} &= \tfrac12(a_n + g_n),\\
g_{n+1} &= \sqrt{a_n g_n}\, .
\end{align}</math>এই দুটি অনুক্রম একই সংখ্যায় [[অনুক্রমের সীমা|অভিসারী]] হয়, যা ''x'' এবং ''y''-এর গাণিতিক-জ্যামিতিক গড়; একে ''M''(''x'', ''y'') দ্বারা, অথবা কখনও কখনও agm(''x'', ''y'') বা AGM(''x'', ''y'') দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

গাণিতিক-জ্যামিতিক গড়কে [[জটিল সংখ্যা|জটিল সংখ্যায়]] প্রসারিত করা যায় এবং যখন বর্গমূলের [[শাখা বিন্দু#শাখা ছেদ|শাখাগুলো]] অসামঞ্জস্যপূর্ণভাবে নেওয়া হয়, তখন এটি একটি [[বহুমুখী ফাংশন]] হয়।<ref name="Cox">Cox, David. (January 1984). [https://www.researchgate.net/publication/248675540 The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss]. ''L'Enseignement Mathématique''. 30 (2) 275–330.</ref>

==উদাহরণ==
''a''0 = 24 এবং ''g''0 = 6-এর গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় নির্ণয় করতে, নিম্নরূপ পুনরাবৃত্তি করুন:<math display=block>\begin{array}{rcccl}
a_1 & = & \tfrac12(24 + 6) & = & 15\\
g_1 & = & \sqrt{24 \cdot 6} & = & 12\\
a_2 & = & \tfrac12(15 + 12) & = & 13.5\\
g_2 & = & \sqrt{15 \cdot 12} & = & 13.416\ 407\ 8649\dots\\
& & \vdots & &
\end{array}</math>প্রথম পাঁচটি পুনরাবৃত্তি নিচের মানগুলো প্রদান করে:

{| class="wikitable plainrowheaders" style="margin-left:2em;"
|-
! scope="col" | ''n''
! scope="col" | ''a''''n''
! scope="col" | ''g''''n''
|-
! scope="row" | 0
| 24
| 6
|-
! scope="row" | 1
| 15
| 12
|-
! scope="row" | 2
| 13.5
| 13.416 407 864 998 738 178 455 042...
|-
! scope="row" | 3
| 13.458 203 932 499 369 089 227 521...
| 13.458 139 030 990 984 877 207 090...
|-
! scope="row" | 4
| 13.458 171 481 745 176 983 217 305...
| 13.458 171 481 706 053 858 316 334...
|-
! scope="row" | 5
| 13.458 171 481 725 615 420 766 820...
| 13.458 171 481 725 615 420 766 806...
|}

যে কয়টি অঙ্কে ''a''''n'' এবং ''g''''n'' মিলে যায় (আন্ডারলাইন করা), তা প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে প্রায় দ্বিগুণ হয়। 24 এবং 6-এর গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় হলো এই দুটি অনুক্রমের সাধারণ সীমা, যা প্রায় 13.4581714817256154207668131569743992430538388544।<ref>[https://www.wolframalpha.com/input/?i=agm%2824%2C+6%29 agm(24, 6)] at [[Wolfram Alpha]]</ref>

== ইতিহাস ==
এই অনুক্রম জোড়ার ওপর ভিত্তি করে প্রথম অ্যালগরিদমটি [[জোসেফ-লুই ল্যাগ্রাঞ্জ]]-এর কাজে দেখা যায়। এর বৈশিষ্ট্যগুলো পরবর্তীতে [[কার্ল ফ্রিডরিশ গাউস]] দ্বারা আরও বিশ্লেষণ করা হয়।<ref name="Cox"/>

==বৈশিষ্ট্য==
দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার x এবং y-এর জ্যামিতিক গড় এবং গাণিতিক গড় উভয়ই ওই সংখ্যা দুটির মধ্যে অবস্থিত। (যখন ''x'' ≠ ''y'' হয়, তখন তারা *কঠোরভাবে* মাঝখানে থাকে।) দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার জ্যামিতিক গড় [[গাণিতিক ও জ্যামিতিক গড়ের অসমতা|কখনোই গাণিতিক গড়ের চেয়ে বড় হয় না]]।<ref>Bullen, P. S.. (2003). [https://link.springer.com/10.1007/978-94-017-0399-4_2 Handbook of Means and Their Inequalities]. 60–174. Springer Netherlands. ISBN 978-90-481-6383-0. doi:[https://doi.org/10.1007/978-94-017-0399-4_2 10.1007/978-94-017-0399-4_2].</ref> সুতরাং জ্যামিতিক গড়গুলো একটি ক্রমবর্ধমান অনুক্রম ''g''0 ≤ ''g''1 ≤ ''g''2 ≤ ...; গাণিতিক গড়গুলো একটি ক্রমহ্রাসমান অনুক্রম ''a''0 ≥ ''a''1 ≥ ''a''2 ≥ ...; এবং যেকোনো n-এর জন্য ''gn'' ≤ ''M''(''x'', ''y'') ≤ ''an''। যদি ''x'' ≠ ''y'' হয়, তবে এগুলো কঠোর অসমতা।

সুতরাং ''M''(''x'', ''y'') হলো ''x'' এবং ''y''-এর মধ্যবর্তী একটি সংখ্যা; এটি ''x'' এবং ''y''-এর জ্যামিতিক ও গাণিতিক গড়ের মধ্যেও অবস্থিত।

যদি ''r'' ≥ 0 হয়, তবে ''M''(''rx'', ''ry'') = ''r M''(''x'', ''y'')।

''M''(''x'', ''y'')-এর জন্য একটি সমাকলন-রূপ প্রকাশ রয়েছে:<ref>B. C.</ref><math display=block>\begin{align}
M(x,y) &= \frac{\pi}{2} \left( \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}} \right)^{-1}\\
&=\pi\left(\int_0^\infty \frac{dt}{\sqrt{t(t+x^2)(t+y^2)}}\right)^{-1}\\
&= \frac{\pi}{4} \cdot \frac{x + y}{K\left( \frac{x - y}{x + y} \right)}
\end{align}</math>যেখানে ''K''(''k'') হলো [[উপবৃত্তীয় সমাকলন|প্রথম প্রকারের সম্পূর্ণ উপবৃত্তীয় সমাকলন]]:<math display="block">K(k) = \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\theta}} </math>যেহেতু গাণিতিক-জ্যামিতিক প্রক্রিয়াটি খুব দ্রুত অভিসারী হয়, তাই এটি উপবৃত্তীয় সমাকলন গণনার একটি কার্যকর উপায় প্রদান করে, যা উদাহরণস্বরূপ, [[উপবৃত্তীয় ফিল্টার]] ডিজাইনে ব্যবহৃত হয়।<ref name="Dimopoulos2011">(2011). [https://books.google.com/books?id=6W1eX4QwtyYC&pg=PA147 Analog Electronic Filters: Theory, Design and Synthesis]. 147–155. Springer. ISBN 978-94-007-2189-0.</ref>

গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় [[জ্যাকোবি থিটা ফাংশন]] <math>\theta_3</math>-এর সাথে সংযুক্ত<ref>(1987). "Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity". Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7. pages 35, 40</ref><math display="block">\begin{align}
M(1,x) &= \theta_3^{-2}{\left(\exp \left(-\pi \frac{M(1,x)}{M\left(1,\sqrt{1-x^2}\right)}\right)\right)} \\
&= \left[\sum_{n\in\mathbb{Z}}\exp \left(-n^2 \pi \frac{M(1,x)}{M\left(1,\sqrt{1-x^2}\right)}\right)\right]^{-2},
\end{align}</math>যা <math>x=1/\sqrt{2}</math> সেট করলে দেয়<math display="block">M(1,1/\sqrt{2})=\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-n^2\pi}\right)^{-2}.</math>

== সম্পর্কিত ধারণা ==
1 এবং [[২-এর বর্গমূল]]-এর গাণিতিক-জ্যামিতিক গড়ের অনন্যক হলো [[গাউসের ধ্রুবক]]।<math display=block>\frac{1}{M(1, \sqrt{2})} = G = 0.8346268\dots</math>1799 সালে, গাউস প্রমাণ করেন<ref group="note">1799 সালের মধ্যে, গাউসের উপপাদ্যটির দুটি প্রমাণ ছিল, কিন্তু আধুনিক দৃষ্টিভঙ্গি থেকে সেগুলোর কোনোটিই কঠোর ছিল না।</ref> যে<math display=block>M(1,\sqrt{2})=\frac{\pi}{\varpi}</math>যেখানে <math>\varpi</math> হলো [[লেমনিস্কেট ধ্রুবক]]।

1941 সালে, <math>M(1,\sqrt{2})</math> (এবং তাই <math>G</math>) [[থিওডোর স্নাইডার]] দ্বারা [[অতীন্দ্রিয় সংখ্যা|অতীন্দ্রিয়]] প্রমাণিত হয়।<ref group="note">বিশেষভাবে, তিনি প্রমাণ করেন যে [[বিটা ফাংশন]] <math>\Beta (a,b)</math> সকল <math>a,b\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}</math>-এর জন্য অতীন্দ্রিয়, যেখানে <math>a+b\notin \mathbb{Z}_0^-</math>। <math>M(1,\sqrt{2})</math> যে অতীন্দ্রিয়, তা <math>M(1,\sqrt{2})=\tfrac{1}{2}\Beta \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\right)</math> থেকে অনুসরণ করে।</ref><ref>Schneider, Theodor. (1941). [https://www.deepdyve.com/lp/de-gruyter/zur-theorie-der-abelschen-funktionen-und-integrale-mn0U50bvkB Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale]. ''Journal für die reine und angewandte Mathematik''. 183 (19) 110–128. doi:[https://doi.org/10.1515/crll.1941.183.110 10.1515/crll.1941.183.110].</ref><ref>Todd, John. (1975). "The Lemniscate Constants". ''[[Communications of the ACM]]''. 18 (1 <!--) 14–19. doi:[https://doi.org/10.1145/360569.360580 10.1145/360569.360580].</ref> সেট <math>\{\pi,M(1,1/\sqrt{2})\}</math> হলো <math>\mathbb{Q}</math>-এর ওপর [[বীজগণিতীয় স্বাধীনতা|বীজগণিতীয়ভাবে স্বাধীন]],<ref>G. V. Choodnovsky: ''Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis'', Notices of the AMS 22, 1975, p. A-486</ref><ref>G. V. Chudnovsky: ''Contributions to The Theory of Transcendental Numbers'', American Mathematical Society, 1984, p. 6</ref> কিন্তু সেট <math>\{\pi,M(1,1/\sqrt{2}),M'(1,1/\sqrt{2})\}</math> (যেখানে প্রাইম দ্বিতীয় চলকের সাপেক্ষে [[অন্তরজ]] নির্দেশ করে) <math>\mathbb{Q}</math>-এর ওপর বীজগণিতীয়ভাবে স্বাধীন নয়। প্রকৃতপক্ষে,<ref>(1987). "Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity". Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7. p. 45</ref><math display="block">\pi=2\sqrt{2}\frac{M^3(1,1/\sqrt{2})}{M'(1,1/\sqrt{2})}.</math>[[জ্যামিতিক-হারমোনিক গড়]] GH জ্যামিতিক এবং [[হারমোনিক গড়|হারমোনিক]] গড়ের অনুরূপ অনুক্রম ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে, এবং প্রকৃতপক্ষে 1= GH(''x'', ''y'') = 1/''M''(1/''x'', 1/''y'') = ''xy''/''M''(''x'', ''y'')।<ref>Newman, D. J.. (1985). "A simplified version of the fast algorithms of Brent and Salamin". ''Mathematics of Computation''. 44 (169) 207–210. doi:[https://doi.org/10.2307/2007804 10.2307/2007804].</ref>
গাণিতিক-হারমোনিক গড় [[জ্যামিতিক গড়#পুনরাবৃত্তিমূলক গড়|জ্যামিতিক গড়ের সমতুল্য]]।

গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় ব্যবহার করে গণনা করা যায় – অন্যান্যগুলোর মধ্যে – [[লগারিদম#গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় আসন্নীকরণ|লগারিদম]], [[উপবৃত্তীয় সমাকলন|প্রথম ও দ্বিতীয় প্রকারের সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ উপবৃত্তীয় সমাকলন]],<ref>598–599</ref> এবং [[জ্যাকোবি উপবৃত্তীয় ফাংশন]]।<ref>King, Louis V.. (1924). [https://archive.org/details/onthenumerical032686mbp On the Direct Numerical Calculation of Elliptic Functions and Integrals]. Cambridge University Press.</ref>

==অস্তিত্বের প্রমাণ==
[[গাণিতিক ও জ্যামিতিক গড়ের অসমতা]] নির্দেশ করে যে<math display=block>g_n \leq a_n</math>এবং তাই<math display=block>g_{n + 1} = \sqrt{g_n \cdot a_n} \geq \sqrt{g_n \cdot g_n} = g_n</math>অর্থাৎ, অনুক্রম ''gn'' হলো অ-হ্রাসমান এবং ''x'' ও ''y''-এর বৃহত্তরটি দ্বারা ঊর্ধ্বসীমায় আবদ্ধ। [[একঘেয়ে অভিসৃতি উপপাদ্য]] অনুযায়ী, অনুক্রমটি অভিসারী, তাই এমন একটি ''g'' বিদ্যমান যার জন্য:<math display=block>\lim_{n\to \infty}g_n = g</math>যাইহোক, আমরা আরও দেখতে পারি যে:<math display=block>a_n = \frac{g_{n + 1}^2}{g_n}</math>
এবং তাই:
<math display=block>\lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to \infty}\frac{g_{n + 1}^2}{g_{n}} = \frac{g^2}{g} = g</math>

[[Q.E.D.]]

==সমাকলন-রূপ প্রকাশের প্রমাণ==
এই প্রমাণটি গাউস প্রদান করেছেন।<ref name="Cox" />
ধরি

<math display=block>I(x,y) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}} ,</math>

সমাকলনের চলক <math>\theta'</math>-এ পরিবর্তন করি, যেখানে

<math display="block">
\begin{align}
\sin\theta &= \frac{2x\sin\theta'}{(x+y)+(x-y)\sin^2\theta'} \\
\Rightarrow d(\sin\theta) &= d\left(\frac{2x\sin\theta'}{(x+y)+(x-y)\sin^2\theta'}\right)\\
\Rightarrow \cos\theta\ d\theta &= 2x \frac{(x+y)-(x-y)\sin^2\theta'}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')^2}\ \cos\theta' d\theta'
\end{align}
</math>

<math display="block">
\begin{align}
\cos\theta
&= \frac{\sqrt{(x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta'}}{(x+y) + (x-y)\sin^2\theta'}\\[1ex]
&= \frac{\cos\theta'\sqrt{(x-y)^2\cos^2\theta'+4xy\sin^2\theta'}}{(x+y)+(x-y)\sin^2\theta'}\\[1ex]
&= \frac{\cos\theta'\sqrt{(x+y)^2\cos^2\theta'+4xy\sin^2\theta'}}{(x+y)+(x-y)\sin^2\theta'},
\end{align}
</math>

<math display="block">
\begin{align}
\Rightarrow
\cos\theta\ d\theta &=\frac{\cos\theta'\sqrt{(x+y)^2\cos^2\theta'+4xy\sin^2\theta'}}{(x+y)+(x-y)\sin^2\theta'}\ d\theta \\[1ex]
&= 2x \frac{(x+y)-(x-y)\sin^2\theta'}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')^2}\ \cos\theta' d\theta' ,
\end{align}
</math>

<math display="block">
\Rightarrow
d\theta = \frac{x((x+y)-(x-y)\sin^2\theta')}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')} \frac{2 d\theta'}{\sqrt{(x+y)^2\cos^2\theta'+4xy\sin^2\theta'}}
\ ,
</math>

<math display="block">
\begin{align}
\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}
&= \frac{\sqrt}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')}\\
&= \frac{x \left((x+y)-(x-y)\sin^2\theta'\right)}{\left((x+y)+(x-y)\sin^2\theta'\right)}
\end{align}
</math>

এটি প্রদান করে
<math display="block"> \begin{align}
\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}} &= \frac{2 d\theta'}{\sqrt{(x+y)^2\cos^2\theta'+4xy\sin^2\theta'}} \\
&= \frac{d\theta'}{\sqrt{\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\cos^2\theta' + \left(\sqrt{xy}\right)^2\sin^2\theta'}},
\end{align}
</math>

প্রদান করে

<math display="block">\begin{align}
I(x,y) &= \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta'}{\sqrt{\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\cos^2\theta' + \left(\sqrt{xy}\right)^2 \sin^2\theta'}} \\
&= I{\left(\tfrac{x+y}{2},\sqrt{xy}\right)} .
\end{align}</math>

সুতরাং, আমাদের আছে

<math display="block">
\begin{align}
I(x,y) &= I(a_1, g_1) = I(a_2, g_2) = \cdots\\
&= I\bigl(M(x,y),M(x,y)\bigr) = \frac{\pi}{2M(x,y)} .
\end{align}
</math>
শেষ সমতাটি আসে এটি পর্যবেক্ষণ করে যে <math>I(z,z) = \pi/(2z)</math>।

অবশেষে, আমরা কাঙ্ক্ষিত ফলাফল পাই

<math display="block">M(x,y) = \frac{\pi}{2 I(x,y)}.</math>

==প্রয়োগ==

===সংখ্যা ''π''===
[[গাউস-লিজেন্ডার অ্যালগরিদম]] অনুযায়ী,<ref>Salamin, Eugene. (1976 <!--). [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-32377-0_1 Computation of π using arithmetic–geometric mean]. ''[[Mathematics of Computation]]''. 30 (135) 565–570. doi:[https://doi.org/10.2307/2005327 10.2307/2005327].</ref>

<math display=block>\pi = \frac{4\,M(1,1/\sqrt{2})^2} {1 - \displaystyle\sum_{j=1}^\infty 2^{j+1} c_j^2} ,</math>

যেখানে

<math display=block>c_j = \frac{1}{2}\left(a_{j-1}-g_{j-1}\right) ,</math>

<math>a_0=1</math> এবং <math>g_0=1/\sqrt{2}</math> সহ, যা নির্ভুলতা না হারিয়ে গণনা করা যায়

<math display=block>c_j = \frac{c_{j-1}^2}{4a_j} .</math>

===সম্পূর্ণ উপবৃত্তীয় সমাকলন ''K''(sin''α'')===
<math>a_0 = 1</math> এবং <math>g_0 = \cos\alpha</math> নিলে AGM পাওয়া যায়

<math display=block>M(1,\cos\alpha) = \frac{\pi}{2K(\sin \alpha)} ,</math>

যেখানে ''K''(''k'') হলো একটি সম্পূর্ণ [[উপবৃত্তীয় সমাকলন|উপবৃত্তীয় সমাকলন]]:

<math display="block">K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}.</math>

অর্থাৎ এই [[কোয়ার্টার পিরিয়ড]] AGM-এর মাধ্যমে দক্ষতার সাথে গণনা করা যেতে পারে,
<math display=block>K(k) = \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})} .</math>

===অন্যান্য প্রয়োগ===
AGM-এর এই বৈশিষ্ট্যের সাথে [[জন ল্যান্ডেন]]-এর আরোহী রূপান্তর ব্যবহার করে,<ref>Landen, John. (1775). "An investigation of a general theorem for finding the length of any arc of any conic hyperbola, by means of two elliptic arcs, with some other new and useful theorems deduced therefrom". ''[[Philosophical Transactions of the Royal Society]]''. 65 283–289. doi:[https://doi.org/10.1098/rstl.1775.0028 10.1098/rstl.1775.0028].</ref> [[রিচার্ড পি. ব্রেন্ট]]<ref>Brent, Richard P.. (1976). [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-32377-0_2 Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions]. ''[[Journal of the ACM]]''. 23 (2) 242–251. doi:[https://doi.org/10.1145/321941.321944 10.1145/321941.321944].</ref> প্রাথমিক [[অতীন্দ্রিয় ফাংশন]] (''e''''x'', cos ''x'', sin ''x'') দ্রুত মূল্যায়নের জন্য প্রথম AGM অ্যালগরিদম প্রস্তাব করেন। পরবর্তীতে, অনেক লেখক AGM অ্যালগরিদমের ব্যবহার নিয়ে গবেষণা চালিয়ে যান।<ref>(1987). "Pi and the AGM". Wiley. ISBN 0-471-83138-7.</ref>

==আরও দেখুন==
* [[গাউস-লিজেন্ডার অ্যালগরিদম]]
* [[সাধারণীকৃত গড়]]
* [[ল্যান্ডেনের রূপান্তর]]

==তথ্যসূত্র==

===নোট===
<references group="note" />

===উদ্ধৃতি===
<references />

===উৎসসমূহ===

* (2002). "Gauss-composition of means and the solution of the Matkowski–Suto problem". ''[[Publicationes Mathematicae Debrecen]]''. 61 (1–2) 157–218. doi:[https://doi.org/10.5486/PMD.2002.2713 10.5486/PMD.2002.2713].
* Arithmetic–geometric mean process
* Arithmetic-GeometricMean

descriptive
{{DEFAULTSORT:Arithmetic-Geometric Mean}}
[[Category:গড়]]
[[Category:বিশেষ ফাংশন]]
[[Category:উপবৃত্তীয় ফাংশন]]
[[Category:প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ]]

----
''উৎস:'' ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Arithmetic–geometric mean” নিবন্ধের অনুবাদ।
''মূল নিবন্ধ:'' https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic–geometric_mean
''এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।''

গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় - Revision history

Sourav001: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Arithmetic–geometric mean” নিবন্ধের বাংলা অনুবাদ