View source for লোকেশন-স্কেল ফ্যামিলি

[[সম্ভাবনা তত্ত্ব|সম্ভাবনা তত্ত্বে]], বিশেষ করে গাণিতিক [[পরিসংখ্যান|পরিসংখ্যানে]], একটি '''লোকেশন-স্কেল ফ্যামিলি''' (location–scale family) হলো [[সম্ভাবনা বিন্যাস|সম্ভাবনা বিন্যাসের]] একটি [[indexed family|পরিবার]], যা একটি [[লোকেশন প্যারামিটার]] এবং একটি অ-ঋণাত্মক [[স্কেল প্যারামিটার]] দ্বারা প্যারামিটারাইজড বা পরিমিত করা হয়। যেকোনো [[র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল]] <math> X </math>-এর জন্য, যার সম্ভাবনা বিন্যাস ফাংশন এই ধরনের পরিবারের অন্তর্ভুক্ত, <math>Y \,\stackrel{d}{=}\, a + b X</math>-এর বিন্যাস ফাংশনটিও সেই একই পরিবারের অন্তর্ভুক্ত হবে (যেখানে <math> \stackrel{d}{=} </math> মানে হলো "[[Random variable#Equality in distribution|বিন্যাসের দিক থেকে সমান]]"—অর্থাৎ, "একই বিন্যাস বিশিষ্ট")।

অন্য কথায়, সম্ভাবনা বিন্যাসের একটি শ্রেণি <math> \Omega </math> হলো একটি লোকেশন-স্কেল ফ্যামিলি, যদি সকল [[কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন]] <math> F \in \Omega </math> এবং যেকোনো বাস্তব সংখ্যা <math> a \in \mathbb{R} </math> ও <math> b > 0 </math>-এর জন্য, বিন্যাস ফাংশন <math> G(x) = F(a + b x) </math> ও <math> \Omega </math>-এর সদস্য হয়।

* যদি <math>X</math>-এর একটি [[কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন]] <math>F_X(x)= P(X\le x)</math> থাকে, তবে <math>Y= a + b X</math>-এর কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন হবে <math>F_Y(y) = F_X\left(\frac{y-a}{b}\right)</math>।
* যদি <math>X</math> একটি [[ডিসক্রিট র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল]] হয় যার [[প্রোবাবিলিটি মাস ফাংশন]] <math>p_X(x)= P(X=x)</math>, তবে <math>Y= a + b X</math> একটি ডিসক্রিট র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল হবে যার প্রোবাবিলিটি মাস ফাংশন <math>p_Y(y) = p_X\left(\frac{y-a}{b}\right)</math>।
* যদি <math>X</math> একটি [[কন্টিনিউয়াস র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল]] হয় যার [[প্রোবাবিলিটি ডেনসিটি ফাংশন]] <math>f_X(x)</math> থাকে, তবে <math>Y= a + b X</math> একটি কন্টিনিউয়াস র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল হবে যার প্রোবাবিলিটি ডেনসিটি ফাংশন <math>f_Y(y) = \frac{1}{b}f_X\left(\frac{y-a}{b}\right)</math>।
* যদি <math>X</math>-এর একটি [[মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশন]] <math>M_X(t)</math> থাকে, তবে <math>Y= a + b X</math>-এর মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশন হবে <math>M_Y(t)=e^{at}M_X(bt)</math>।
* যদি <math>X</math>-এর একটি [[ক্যারাক্টারিস্টিক ফাংশন (সম্ভাবনা তত্ত্ব)|ক্যারাক্টারিস্টিক ফাংশন]] <math>\varphi_X(t)</math> থাকে, তবে <math>Y= a + b X</math>-এর ক্যারাক্টারিস্টিক ফাংশন হবে <math>\varphi_Y(t)=e^{iat}\varphi_X(bt)</math>।

অধিকন্তু, যদি <math> X </math> এবং <math> Y </math> দুটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল হয় যাদের বিন্যাস ফাংশনগুলো এই পরিবারের সদস্য, এবং প্রথম দুটি মোমেন্টের অস্তিত্ব বিদ্যমান থাকে এবং <math> X </math>-এর গড় শূন্য ও ভেদাঙ্ক একক হয়, তবে <math> Y </math>-কে <math> Y \,\stackrel{d}{=}\, \mu_Y + \sigma_Y X </math> হিসেবে লেখা যায়, যেখানে <math> \mu_Y </math> এবং <math> \sigma_Y </math> হলো <math> Y </math>-এর গড় এবং আদর্শ বিচ্যুতি।

[[ডিসিশন থিওরি|ডিসিশন থিওরিতে]], যদি একজন সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীর কাছে উপলব্ধ সমস্ত বিকল্প বিন্যাস একই লোকেশন-স্কেল ফ্যামিলির অন্তর্ভুক্ত হয় এবং প্রথম দুটি মোমেন্ট সসীম হয়, তবে একটি [[Two-moment decision models|টু-মোমেন্ট ডিসিশন মডেল]] প্রয়োগ করা যেতে পারে এবং বিন্যাসগুলোর [[Expected value|গড়]] ও [[variance|ভেদাঙ্ক]]-এর ভিত্তিতে সিদ্ধান্ত গ্রহণ করা সম্ভব।<ref>Meyer, Jack. (1987). "Two-Moment Decision Models and Expected Utility Maximization". ''[[American Economic Review]]''. 77 (3) 421–430.</ref><ref>Mayshar, J.. (1978). "A Note on Feldstein's Criticism of Mean-Variance Analysis". ''[[Review of Economic Studies]]''. 45 (1) 197–199.</ref><ref>Sinn, H.-W.. (1983). "Economic Decisions under Uncertainty". North-Holland.</ref>

== উদাহরণ ==

প্রায়শই, লোকেশন-স্কেল ফ্যামিলিগুলোকে এমনভাবে সীমাবদ্ধ করা হয় যেখানে সমস্ত সদস্যের একই ফাংশনাল ফর্ম থাকে। বেশিরভাগ লোকেশন-স্কেল ফ্যামিলিই [[ইউনিভ্যারিয়েট ডিস্ট্রিবিউশন|ইউনিভ্যারিয়েট]], যদিও সব নয়। সুপরিচিত পরিবারগুলো যেখানে বিন্যাসের ফাংশনাল ফর্ম পুরো পরিবার জুড়ে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তার মধ্যে রয়েছে:

* [[নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন]]
* [[ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশন]]
* [[কশি ডিস্ট্রিবিউশন]]
* [[ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন (কন্টিনিউয়াস)]]
* [[ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন (ডিসক্রিট)]]
* [[লজিস্টিক ডিস্ট্রিবিউশন]]
* [[ল্যাপলাস ডিস্ট্রিবিউশন]]
* [[স্টুডেন্টস টি-ডিস্ট্রিবিউশন#লোকেশন-স্কেল টি-ডিস্ট্রিবিউশন|স্টুডেন্টস টি-ডিস্ট্রিবিউশন]]
* [[জেনারালাইজড এক্সট্রিম ভ্যালু ডিস্ট্রিবিউশন]]

==একটি একক বিন্যাসকে লোকেশন-স্কেল ফ্যামিলিতে রূপান্তর==
নিচে দেখানো হয়েছে কীভাবে একটি পরিসংখ্যানগত প্যাকেজ বা প্রোগ্রামিং পরিবেশে একটি লোকেশন-স্কেল ফ্যামিলি প্রয়োগ করা যায়, যেখানে শুধুমাত্র বিন্যাসের "স্ট্যান্ডার্ড" সংস্করণের ফাংশনগুলো উপলব্ধ। এটি [[R (প্রোগ্রামিং ভাষা)|R]]-এর জন্য ডিজাইন করা হয়েছে তবে যেকোনো ভাষা এবং লাইব্রেরির জন্য এটি সাধারণীকরণ করা সম্ভব।

এখানে উদাহরণ হিসেবে [[স্টুডেন্টস টি-ডিস্ট্রিবিউশন|স্টুডেন্টস টি-ডিস্ট্রিবিউশন]] ব্যবহার করা হয়েছে, যা সাধারণত R-এ শুধুমাত্র স্ট্যান্ডার্ড ফর্মে থাকে, যেখানে একটি মাত্র [[degrees of freedom (statistics)|ডিগ্রিস অফ ফ্রিডম]] প্যারামিটার <code>df</code> থাকে। নিচে <code>_ls</code> যুক্ত সংস্করণগুলো দেখানো হয়েছে যে কীভাবে এটিকে একটি ইচ্ছামতো লোকেশন প্যারামিটার <code>m</code> এবং স্কেল প্যারামিটার <code>s</code> সহ একটি [[স্টুডেন্টস টি-ডিস্ট্রিবিউশন#লোকেশন-স্কেল টি-ডিস্ট্রিবিউশন|জেনারালাইজড স্টুডেন্টস টি-ডিস্ট্রিবিউশনে]] রূপান্তর করা যায়।

{|
|-
|style="padding-right:10px;"|[[প্রোবাবিলিটি ডেনসিটি ফাংশন]] (PDF):
|style="padding-right:10px;"| <code>dt_ls(x, df, m, s) =</code>
| <code>1/s * dt((x - m) / s, df)</code>
|-
|style="padding-right:10px;"|[[কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন]] (CDF):
|style="padding-right:10px;"| <code>pt_ls(x, df, m, s) =</code>
| <code>pt((x - m) / s, df)</code>
|-
|style="padding-right:10px;"|[[কোয়ান্টাইল ফাংশন]] (ইনভার্স CDF):
|style="padding-right:10px;"| <code>qt_ls(prob, df, m, s) =</code>
| <code>qt(prob, df) * s + m</code>
|-
|style="padding-right:10px;"|একটি [[র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েট]] তৈরি করা:
|style="padding-right:10px;"| <code>rt_ls(df, m, s) =</code>
| <code>rt(df) * s + m</code>
|}
লক্ষ্য করুন যে এই জেনারালাইজড ফাংশনগুলোর আদর্শ বিচ্যুতি <code>s</code> নয়, কারণ স্ট্যান্ডার্ড টি-ডিস্ট্রিবিউশনের আদর্শ বিচ্যুতি ১ হয় না।

== তথ্যসূত্র ==
<references />

==বহিঃসংযোগ==
* http://www.randomservices.org/random/special/LocationScale.html

inference
collapsed

{{DEFAULTSORT:Location-scale family}}
[[Category:প্যারামেট্রিক পরিসংখ্যান]]
[[Category:সম্ভাবনা বিন্যাসের প্রকারভেদ]]
[[Category:লোকেশন-স্কেল ফ্যামিলি সম্ভাবনা বিন্যাস| ]]

----
''উৎস:'' ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Location–scale family” নিবন্ধের অনুবাদ।
''মূল নিবন্ধ:'' https://en.wikipedia.org/wiki/Location–scale_family
''এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।''