পার্শিয়াল কোরিলেশন

সম্ভাবনা তত্ত্ব (probability theory) এবং পরিসংখ্যান-এ (statistics), পার্শিয়াল কোরিলেশন বা আংশিক সহসম্পর্ক হলো দুটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের (random variables) মধ্যে সহসম্পর্কের (association) মাত্রা পরিমাপের একটি পদ্ধতি, যেখানে এক সেট নিয়ন্ত্রণকারী র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রভাব দূর করা হয়। আগ্রহের দুটি ভেরিয়েবলের মধ্যে গাণিতিক সম্পর্ক নির্ণয় করার সময়, যদি অন্য কোনো কনফাউন্ডিং ভেরিয়েবল (confounding variable) থাকে যা উভয় ভেরিয়েবলের সাথেই গাণিতিকভাবে সম্পর্কিত, তবে তাদের কোরিলেশন কোফিসিয়েন্ট (correlation coefficient) ব্যবহার করলে বিভ্রান্তিকর ফলাফল (misleading results) পাওয়া যেতে পারে। এই বিভ্রান্তিকর তথ্য এড়ানো সম্ভব যদি কনফাউন্ডিং ভেরিয়েবলটিকে নিয়ন্ত্রণ করা হয়, যা পার্শিয়াল কোরিলেশন কোফিসিয়েন্ট গণনার মাধ্যমে করা হয়। এটিই মূলত একটি মাল্টিপল রিগ্রেশন-এ (multiple regression) অন্যান্য ডান-দিকের ভেরিয়েবল অন্তর্ভুক্ত করার মূল কারণ; তবে মাল্টিপল রিগ্রেশন ইফেক্ট সাইজ-এর (effect size) জন্য নিরপেক্ষ (unbiased) ফলাফল দিলেও, এটি আগ্রহের দুটি ভেরিয়েবলের মধ্যে সম্পর্কের শক্তির কোনো গাণিতিক মান প্রদান করে না।

উদাহরণস্বরূপ, বিভিন্ন ব্যক্তির ভোগ, আয় এবং সম্পদের ওপর অর্থনৈতিক (economic) তথ্যের ক্ষেত্রে, ভোগ এবং আয়ের মধ্যকার সম্পর্কের কথা বিবেচনা করুন। ভোগ এবং আয়ের মধ্যে কোরিলেশন কোফিসিয়েন্ট গণনা করার সময় সম্পদকে নিয়ন্ত্রণ করতে ব্যর্থ হলে তা একটি বিভ্রান্তিকর ফলাফল দেবে, কারণ আয় সম্পদের সাথে গাণিতিকভাবে সম্পর্কিত হতে পারে যা আবার ভোগের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে; ভোগ এবং আয়ের মধ্যে পরিমাপকৃত কোরিলেশন আসলে এই অন্যান্য কোরিলেশন দ্বারা দূষিত হতে পারে। পার্শিয়াল কোরিলেশনের ব্যবহার এই সমস্যাটি এড়ায়।

কোরিলেশন কোফিসিয়েন্টের মতো, পার্শিয়াল কোরিলেশন কোফিসিয়েন্ট –১ থেকে ১ এর মধ্যে একটি মান গ্রহণ করে। –১ মানটি কিছু ভেরিয়েবল নিয়ন্ত্রণ করার পর একটি নিখুঁত নেতিবাচক কোরিলেশন নির্দেশ করে (অর্থাৎ, একটি সুনির্দিষ্ট রৈখিক সম্পর্ক যেখানে একটি ভেরিয়েবলের উচ্চ মান অন্যটির নিম্ন মানের সাথে সম্পর্কিত); ১ মানটি একটি নিখুঁত ইতিবাচক রৈখিক সম্পর্ক নির্দেশ করে এবং ০ মানটি নির্দেশ করে যে কোনো রৈখিক সম্পর্ক নেই।

পার্শিয়াল কোরিলেশন কন্ডিশনাল কোরিলেশন-এর (conditional correlation) সাথে মিলে যায় যদি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলো মাল্টিভ্যারিয়েট নরমাল, অন্যান্য ইলিপটিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশন, মাল্টিভ্যারিয়েট হাইপারজিওমেট্রিক ডিস্ট্রিবিউশন, মাল্টিভ্যারিয়েট নেগেটিভ হাইপারজিওমেট্রিক ডিস্ট্রিবিউশন, মাল্টিনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন, অথবা ডিরিক্লে ডিস্ট্রিবিউশন হিসেবে যৌথভাবে বিন্যস্ত (jointly distributed) থাকে, কিন্তু সাধারণভাবে অন্যথায় এটি ঘটে না।

আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা

আনুষ্ঠানিকভাবে, n সংখ্যক নিয়ন্ত্রণকারী ভেরিয়েবলের সেট Z = {Z₁, Z₂, ..., Z_n} প্রদত্ত হলে X এবং Y-এর মধ্যে পার্শিয়াল কোরিলেশন, যাকে ρ_XY·Z হিসেবে লেখা হয়, তা হলো X-এর সাথে Z এবং Y-এর সাথে Z-এর রৈখিক রিগ্রেশন (linear regression) থেকে প্রাপ্ত রেসিডিউয়াল (residuals) e_X এবং e_Y-এর মধ্যে কোরিলেশন। ফার্স্ট-অর্ডার পার্শিয়াল কোরিলেশন (অর্থাৎ, যখন n = 1) হলো একটি কোরিলেশন এবং অপসারণযোগ্য কোরিলেশনগুলোর গুণফলের মধ্যে পার্থক্য, যাকে অপসারণযোগ্য কোরিলেশনগুলোর এলিয়েনেশন কোফিসিয়েন্টগুলোর গুণফল দ্বারা ভাগ করা হয়। কোফিসিয়েন্ট অফ এলিয়েনেশন (coefficient of alienation) এবং কোরিলেশনের মাধ্যমে যৌথ ভেদাঙ্কের সাথে এর সম্পর্ক গিলফোর্ড (১৯৭৩, পৃষ্ঠা ৩৪৪-৩৪৫)-এ পাওয়া যায়।

গণনা

রৈখিক রিগ্রেশন ব্যবহার করে

কিছু তথ্যের জন্য স্যাম্পল পার্শিয়াল কোরিলেশন গণনা করার একটি সহজ উপায় হলো দুটি সংশ্লিষ্ট রৈখিক রিগ্রেশন সমস্যা সমাধান করা এবং রেসিডিউয়ালগুলোর মধ্যে কোরিলেশন গণনা করা। ধরা যাক X এবং Y বাস্তব মান গ্রহণকারী র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং Z হলো n-মাত্রিক ভেক্টর-মূল্যবান র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল। ধরা যাক x_i, y_i এবং z_i হলো বাস্তব র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল X, Y, এবং Z-এর ওপর কোনো যৌথ সম্ভাবনা বিন্যাস (joint probability distribution) থেকে প্রাপ্ত $N$ সংখ্যক i.i.d. পর্যবেক্ষণের i-তম মান, যেখানে রিগ্রেশনে একটি ধ্রুবক পদের জন্য z_i-কে ১ দ্বারা বর্ধিত করা হয়েছে। রৈখিক রিগ্রেশন সমস্যা সমাধানের অর্থ হলো (n+1)-মাত্রিক রিগ্রেশন কোফিসিয়েন্ট ভেক্টর ${\mathbf{𝐰}}_X^{*}$ এবং ${\mathbf{𝐰}}_Y^{*}$ খুঁজে বের করা যাতে

${\mathbf{𝐰}}_X^{*}=\arg \underset{\mathbf{𝐰}}{\min }\{\sum _{i=1}^N(x_i-⟨\mathbf{𝐰},{\mathbf{𝐳}}_i⟩{)}^2\}$

${\mathbf{𝐰}}_Y^{*}=\arg \underset{\mathbf{𝐰}}{\min }\{\sum _{i=1}^N(y_i-⟨\mathbf{𝐰},{\mathbf{𝐳}}_i⟩{)}^2\}$

যেখানে $N$ হলো পর্যবেক্ষণের সংখ্যা এবং $⟨\mathbf{𝐰},{\mathbf{𝐳}}_i⟩$ হলো ভেক্টর $\mathbf{𝐰}$ এবং ${\mathbf{𝐳}}_i$-এর মধ্যে ডট প্রোডাক্ট (scalar product)।

রেসিডিউয়ালগুলো হলো

$e_{X,i}=x_i-⟨{\mathbf{𝐰}}_X^{*},{\mathbf{𝐳}}_i⟩$

$e_{Y,i}=y_i-⟨{\mathbf{𝐰}}_Y^{*},{\mathbf{𝐳}}_i⟩$

এবং স্যাম্পল পার্শিয়াল কোরিলেশন তখন স্যাম্পল কোরিলেশনের সাধারণ সূত্র দ্বারা প্রদত্ত হয়, তবে এই নতুন 'প্রাপ্ত' মানগুলোর মধ্যে:

$\begin{array}{rl}{\hat{\rho }}_{XY\cdot \mathbf{𝐙}}& =\frac{N\sum _{i=1}^N{e}_{X,i}{e}_{Y,i}-\sum _{i=1}^N{e}_{X,i}\sum _{i=1}^N{e}_{Y,i}}{\sqrt{N\sum _{i=1}^N{e}_{X,i}^2-{\left(\sum _{i=1}^N{e}_{X,i}\right)}^2}\sqrt{N\sum _{i=1}^N{e}_{Y,i}^2-{\left(\sum _{i=1}^N{e}_{Y,i}\right)}^2}}\\ & =\frac{N\sum _{i=1}^N{e}_{X,i}{e}_{Y,i}}{\sqrt{N\sum _{i=1}^N{e}_{X,i}^2}\sqrt{N\sum _{i=1}^N{e}_{Y,i}^2}}.\end{array}$

প্রথম রাশিতে বিয়োগ চিহ্নের পরের তিনটি পদই ০-এর সমান, কারণ প্রতিটিতে একটি অর্ডিনারি লিস্ট স্কোয়ারস (ordinary least squares) রিগ্রেশন থেকে প্রাপ্ত রেসিডিউয়ালের সমষ্টি রয়েছে।

উদাহরণ

তিনটি ভেরিয়েবল X, Y, এবং Z-এর ওপর নিচের তথ্যটি বিবেচনা করুন:

X	Y	Z
2	1	0
4	2	0
15	3	1
20	4	1

X এবং Y ভেরিয়েবলের মধ্যে পিয়ারসন কোরিলেশন কোফিসিয়েন্ট গণনা করলে প্রায় ০.৯৭০ পাওয়া যায়, যেখানে উপরে প্রদত্ত সূত্র ব্যবহার করে X এবং Y-এর মধ্যে পার্শিয়াল কোরিলেশন গণনা করলে ০.৯১৯ পাওয়া যায়। গণনাগুলো R ব্যবহার করে নিচের কোড দিয়ে করা হয়েছে।

> x <- c(2, 4, 15, 20)
> y <- c(1, 2,  3,  4)
> z <- c(0, 0,  1,  1)

# regress x onto z and compute residuals
> res_x <- lm(x ~ z)$residuals

# regress y onto z and compute residuals
> res_y <- lm(y ~ z)$residuals

# compute correlation of residuals
> cor(res_x, res_y)
# [1] 0.919145

# show this is distinct from the correlation between x and y
> cor(x, y)
# [1] 0.9695016

# compute generalized partial correlations
> generalCorr::parcorMany( cbind(x, y, z) )
#      nami namj partij   partji rijMrji
# [1,] "x"  "y"  "0.8844" "1"    "-0.1156"
# [2,] "x"  "z"  "0.1581" "1"    "-0.8419"

কোডের নিচের অংশটি Z-এর অ-রৈখিক প্রভাব দূর করার পর X এবং Y-এর মধ্যে সাধারণ অ-রৈখিক পার্শিয়াল কোরিলেশন কোফিসিয়েন্ট (০.৮৮৪৪) রিপোর্ট করে। এটি Y-এর অ-রৈখিক প্রভাব দূর করার পর X এবং Z-এর মধ্যে সাধারণ অ-রৈখিক পার্শিয়াল কোরিলেশন কোফিসিয়েন্টও (০.১৫৮১) রিপোর্ট করে। অতিরিক্ত ডকুমেন্টেশন R প্যাকেজ generalCorr-এ উপলব্ধ, যার মধ্যে প্যাকেজ ভিনেটও রয়েছে।

পুনরাবৃত্তিমূলক সূত্র ব্যবহার করে

রৈখিক রিগ্রেশন সমস্যাগুলো সমাধান করা গাণিতিকভাবে ব্যয়বহুল হতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, n-তম অর্ডারের পার্শিয়াল কোরিলেশন (অর্থাৎ, |Z| = n হলে) তিনটি (n - 1)-তম অর্ডারের পার্শিয়াল কোরিলেশন থেকে সহজেই গণনা করা যায়। জিরো-অর্ডার পার্শিয়াল কোরিলেশন ρ_XY·Ø-কে নিয়মিত কোরিলেশন কোফিসিয়েন্ট ρ_XY হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

যেকোনো $Z_0\in \mathbf{𝐙}$-এর জন্য এটি সত্য যে

${\rho }_{XY\cdot \mathbf{𝐙}}=\frac{{\rho }_{XY\cdot \mathbf{𝐙}\setminus \{Z_0\}}-{\rho }_{X{Z}_0\cdot \mathbf{𝐙}\setminus \{Z_0\}}{\rho }_{Z_{0}Y\cdot \mathbf{𝐙}\setminus \{Z_0\}}}{\sqrt{1-{\rho }_{X{Z}_0\cdot \mathbf{𝐙}\setminus \{Z_0\}}^2}\sqrt{1-{\rho }_{Z_{0}Y\cdot \mathbf{𝐙}\setminus \{Z_0\}}^2}}$

এই গণনাটিকে একটি পুনরাবৃত্তিমূলক অ্যালগরিদম (recursive algorithm) হিসেবে প্রয়োগ করলে তা এক্সপোনেনশিয়াল সময়ের জটিলতা (complexity) তৈরি করে। তবে, এই গণনায় ওভারল্যাপিং সাবপ্রবলেম বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যার ফলে ডাইনামিক প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে বা কেবল পুনরাবৃত্তিমূলক কলের ফলাফল ক্যাশ (cache) করে ${𝒪}(n^3)$ জটিলতা পাওয়া যায়।

লক্ষ্য করুন যে, যখন Z একটি একক ভেরিয়েবল হয়, তখন এটি হ্রাস পেয়ে দাঁড়ায়:

${\rho }_{XY\cdot Z}=\frac{{\rho }_{XY}-{\rho }_{XZ}{\rho }_{ZY}}{\sqrt{1-{\rho }_{XZ}^2}\sqrt{1-{\rho }_{ZY}^2}}$

ম্যাট্রিক্স ইনভার্সন ব্যবহার করে

পার্শিয়াল কোরিলেশনকে জয়েন্ট প্রিসিশন ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমেও লেখা যায়। n কার্ডিনালিটির র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সেট $\mathbf{𝐕}=X_1,\dots ,X_n$ বিবেচনা করুন। আমরা অন্য সব ভেরিয়েবল প্রদত্ত, অর্থাৎ $\mathbf{𝐕}\setminus \{X_i,X_j\}$ প্রদত্ত, দুটি ভেরিয়েবল $X_i$ এবং $X_j$-এর মধ্যে পার্শিয়াল কোরিলেশন চাই। ধরা যাক (যৌথ/সম্পূর্ণ) কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স $\mathrm{\Sigma }=({\sigma }_{ij})$ হলো পজিটিভ-ডেফিনিট ম্যাট্রিক্স এবং তাই এটি ইনভার্টিবল ম্যাট্রিক্স। যদি প্রিসিশন ম্যাট্রিক্স-কে $\mathrm{\Omega }=(p_{ij})={\mathrm{\Sigma }}^{-1}$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \rho_{X_i X_j\cdot \mathbf{V} \setminus \{X_i,X_j\ = - \frac{p_{ij}}{\sqrt{p_{ii}p_{jj}}}} |1}}

এটি গণনা করার জন্য ${\mathrm{\Sigma }}^{-1}$ প্রয়োজন, যা কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স $\mathrm{\Sigma }$-এর ইনভার্স এবং এটি ${𝒪}(n^3)$ সময়ে চলে (স্যাম্পল পার্শিয়াল কোরিলেশন পেতে স্যাম্পল কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে)। লক্ষ্য করুন যে, $\mathbf{𝐕}$-এর ভেরিয়েবলগুলোর জোড়ার মধ্যে 'সমস্ত' পার্শিয়াল কোরিলেশন পেতে কেবল একটি ম্যাট্রিক্স ইনভার্সন প্রয়োজন।

সমীকরণ (1) প্রমাণ করতে, পূর্বের নোটেশনে ফিরে যান (অর্থাৎ $X,Y,\mathbf{𝐙}\leftrightarrow X_i,X_j,\mathbf{𝐕}\setminus \{X_i,X_j\}$) এবং পার্শিয়াল কোরিলেশনের সংজ্ঞা থেকে শুরু করুন: ρ_XY·Z হলো X-এর সাথে Z এবং Y-এর সাথে Z-এর রৈখিক রিগ্রেশন থেকে প্রাপ্ত রেসিডিউয়াল e_X এবং e_Y-এর মধ্যে কোরিলেশন।

প্রথমে, ধরা যাক $\beta ,\gamma$ হলো রৈখিক রিগ্রেশন ফিটের কোফিসিয়েন্ট; অর্থাৎ,

$\beta ={\mathrm{argmin}}_{\beta }\mathbb{𝔼}\Vert X-{\beta }^{T}Z{\Vert }^2$

$\gamma ={\mathrm{argmin}}_{\gamma }\mathbb{𝔼}\Vert Y-{\gamma }^{T}Z{\Vert }^2$

ভেক্টর $(X,Y,Z^T{)}^T$-এর জন্য যৌথ কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সকে এভাবে লিখুন

$\mathrm{\Sigma }=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\Sigma }}_{XX}& {\mathrm{\Sigma }}_{XY}& {\mathrm{\Sigma }}_{XZ}\\ {\mathrm{\Sigma }}_{YX}& {\mathrm{\Sigma }}_{YY}& {\mathrm{\Sigma }}_{YZ}\\ {\mathrm{\Sigma }}_{ZX}& {\mathrm{\Sigma }}_{ZY}& {\mathrm{\Sigma }}_{ZZ}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{C}_{11}& C_{12}\\ C_{21}& C_{22}\\ \end{array}\right]$

যেখানে$$C_{11}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Sigma }}_{XX}& {\mathrm{\Sigma }}_{XY}\\ {\mathrm{\Sigma }}_{YX}& {\mathrm{\Sigma }}_{YY}\end{array}\right],C_{12}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Sigma }}_{XZ}\\ {\mathrm{\Sigma }}_{YZ}\end{array}\right],C_{21}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Sigma }}_{ZX}& {\mathrm{\Sigma }}_{ZY}\end{array}\right],C_{22}={\mathrm{\Sigma }}_{ZZ}$$তাহলে রৈখিক রিগ্রেশনের সাধারণ সূত্র দেয়

$\beta ={\left({\mathrm{\Sigma }}_{ZZ}\right)}^{-1}{\mathrm{\Sigma }}_{ZX}$

সুতরাং, রেসিডিউয়ালগুলোকে এভাবে লেখা যায়

$R_X=X-{\beta }^{T}Z=X-{\mathrm{\Sigma }}_{XZ}{\left({\mathrm{\Sigma }}_{ZZ}\right)}^{-1}Z$

লক্ষ্য করুন যে, Z-এ একটি ইন্টারসেপ্ট টার্ম অন্তর্ভুক্ত করার কারণে $R_X$-এর প্রত্যাশা শূন্য। এখন কোভ্যারিয়েন্স গণনা করলে পাওয়া যায় 2

এরপর, প্রিসিশন ম্যাট্রিক্স $\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Sigma }}^{-1}$-কে একই রকম ব্লক ফর্মে লিখুন:

$\mathrm{\Omega }=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\Omega }}_{XX}& {\mathrm{\Omega }}_{XY}& {\mathrm{\Omega }}_{XZ}\\ {\mathrm{\Omega }}_{YX}& {\mathrm{\Omega }}_{YY}& {\mathrm{\Omega }}_{YZ}\\ {\mathrm{\Omega }}_{ZX}& {\mathrm{\Omega }}_{ZY}& {\mathrm{\Omega }}_{ZZ}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{21}& P_{22}\\ \end{array}\right]$

তাহলে, ব্লক-ম্যাট্রিক্স ইনভার্সনের জন্য শুর-এর সূত্র অনুযায়ী,

$P_{11}^{-1}=C_{11}-C_{12}{C}_{22}^{-1}{C}_{21}$

ডানদিকের ম্যাট্রিক্সের এন্ট্রিগুলো ঠিক সেই কোভ্যারিয়েন্স যা আগে (2)-এ গণনা করা হয়েছে, যা দেয়

$P_{11}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Cov}(R_X,R_X)& \mathrm{Cov}(R_X,R_Y)\\ \mathrm{Cov}(R_Y,R_X)& \mathrm{Cov}(R_Y,R_Y)\\ \end{array}\right]$

২×২ ম্যাট্রিক্সের ইনভার্সের সূত্র ব্যবহার করলে পাওয়া যায়

$\begin{array}{rl}{P}_{11}^{-1}& =\frac{1}{\text{det}{P}_{11}}\left(\begin{array}{cc}[P_{11}{]}_{22}& -[P_{11}{]}_{12}\\ -[P_{11}{]}_{21}& [P_{11}{]}_{11}\\ \end{array}\right)\\ & =\frac{1}{\text{det}{P}_{11}}\left(\begin{array}{cc}{p}_{YY}& -p_{XY}\\ -p_{YX}& p_{XX}\\ \end{array}\right)\end{array}$

সুতরাং প্রকৃতপক্ষে, পার্শিয়াল কোরিলেশন হলো

${\rho }_{XY\cdot Z}=\frac{\mathrm{Cov}(R_X,R_Y)}{\sqrt{\mathrm{Cov}(R_X,R_X)\mathrm{Cov}(R_Y,R_Y)}}=\frac{-\frac{1}{\text{det}{P}_{11}}{p}_{XY}}{\sqrt{\frac{1}{\text{det}{P}_{11}}{p}_{XX}\frac{1}{\text{det}{P}_{11}}{p}_{YY}}}=-\frac{p_{XY}}{\sqrt{p_{XX}{p}_{YY}}}$

যেমনটি (1)-এ দাবি করা হয়েছে।

ব্যাখ্যা

N = 3 পর্যবেক্ষণ এবং তাই একটি ২-মাত্রিক হাইপারপ্লেনের ক্ষেত্রে পার্শিয়াল কোরিলেশনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা

জ্যামিতিক

n ভেরিয়েবলের ওপর একটি যৌথ সম্ভাবনা বিন্যাস থেকে তিনটি ভেরিয়েবল X, Y, Z (যেখানে Z হলো "নিয়ন্ত্রণ" বা "অতিরিক্ত ভেরিয়েবল") নির্বাচন করা যাক। আরও ধরা যাক, v_i, ১ ≤ i ≤ N, হলো V-এর ওপর যৌথ সম্ভাবনা বিন্যাস থেকে নেওয়া N সংখ্যক n-মাত্রিক i.i.d. পর্যবেক্ষণ। জ্যামিতিক ব্যাখ্যাটি আসে N-মাত্রিক ভেক্টর x (পর্যবেক্ষণজুড়ে X-এর ধারাবাহিক মান দ্বারা গঠিত), y (Y-এর মান দ্বারা গঠিত), এবং z (Z-এর মান দ্বারা গঠিত) বিবেচনা করে।

এটি দেখানো যেতে পারে যে, X-এর ওপর Z-এর রৈখিক রিগ্রেশন থেকে আসা রেসিডিউয়াল e_X,i, যদি একটি N-মাত্রিক ভেক্টর e_X (সংলগ্ন গ্রাফে r_X হিসেবে চিহ্নিত) হিসেবে বিবেচনা করা হয়, তবে তার সাথে Z দ্বারা উৎপন্ন ভেক্টর z-এর ডট প্রোডাক্ট শূন্য হয়। এর অর্থ হলো রেসিডিউয়াল ভেক্টরটি একটি (N–১)-মাত্রিক হাইপারপ্লেন S_z-এর ওপর অবস্থিত যা z-এর ওপর লম্ব (perpendicular)।

একই কথা Y-এর রেসিডিউয়াল e_Y,i-এর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, যা একটি ভেক্টর e_Y তৈরি করে। কাঙ্ক্ষিত পার্শিয়াল কোরিলেশন তখন হলো z-এর ওপর লম্ব হাইপারপ্লেনের ওপর যথাক্রমে x এবং y-এর প্রজেকশন (projection) e_X এবং e_Y-এর মধ্যবর্তী কোণ φ-এর কোসাইন।ch. 7

কন্ডিশনাল ইন্ডিপেন্ডেন্স টেস্ট হিসেবে

আরও দেখুন: Fisher transformation এই অনুমান যে সমস্ত সংশ্লিষ্ট ভেরিয়েবল মাল্টিভ্যারিয়েট গসিয়ান, পার্শিয়াল কোরিলেশন ρ_XY·Z শূন্য হয় যদি এবং কেবল যদি X, Z প্রদত্ত Y থেকে শর্তাধীনভাবে স্বাধীন (conditionally independent) হয়। এই বৈশিষ্ট্যটি সাধারণ ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।

একটি স্যাম্পল পার্শিয়াল কোরিলেশন ${\hat{\rho }}_{XY\cdot \mathbf{𝐙}}$ প্রকৃত পপুলেশন পার্শিয়াল কোরিলেশন ০ থেকে আলাদা কিনা তা পরীক্ষা করতে, ফিশারের 'পার্শিয়াল কোরিলেশনের z-ট্রান্সফর্ম' ব্যবহার করা যেতে পারে:

$z({\hat{\rho }}_{XY\cdot \mathbf{𝐙}})=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+{\hat{\rho }}_{XY\cdot \mathbf{𝐙}}}{1-{\hat{\rho }}_{XY\cdot \mathbf{𝐙}}}\right)$

নাল হাইপোথিসিস হলো $H_0:{\rho }_{XY\cdot \mathbf{𝐙}}=0$, যা টু-টেইল অল্টারনেটিভ $H_A:{\rho }_{XY\cdot \mathbf{𝐙}}\ne 0$-এর বিপরীতে পরীক্ষা করা হবে। $H_0$ বাতিল করা যেতে পারে যদি

$\sqrt{N-|\mathbf{𝐙}|-3}\cdot |z({\hat{\rho }}_{XY\cdot \mathbf{𝐙}})|>{\mathrm{\Phi }}^{-1}(1-\alpha /2)$

যেখানে $\mathrm{\Phi }$ হলো শূন্য গড় (mean) এবং একক স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন (standard deviation) বিশিষ্ট একটি গসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশন-এর কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন, $\alpha$ হলো $H_0$-এর সিগনিফিক্যান্স লেভেল, এবং $N$ হলো স্যাম্পল সাইজ। এই z-ট্রান্সফর্মটি আনুমানিক, এবং স্যাম্পল (পার্শিয়াল) কোরিলেশন কোফিসিয়েন্টের প্রকৃত বিন্যাসটি সহজ নয়। তবে, পার্শিয়াল রিগ্রেশন কোফিসিয়েন্ট, পার্শিয়াল কোরিলেশন কোফিসিয়েন্ট এবং পার্শিয়াল ভেদাঙ্কের সমন্বয়ের ওপর ভিত্তি করে একটি সঠিক t-test উপলব্ধ।

স্যাম্পল পার্শিয়াল কোরিলেশনের বিন্যাসটি ফিশার বর্ণনা করেছিলেন।

সেমিপার্শিয়াল কোরিলেশন (পার্ট কোরিলেশন)

সেমিপার্শিয়াল (বা পার্ট) কোরিলেশন পরিসংখ্যানটি পার্শিয়াল কোরিলেশন পরিসংখ্যানের অনুরূপ; উভয়ই নির্দিষ্ট ফ্যাক্টর নিয়ন্ত্রণ করার পর দুটি ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের তুলনা করে। তবে, সেমিপার্শিয়াল কোরিলেশন গণনা করার জন্য, তৃতীয় ভেরিয়েবলটিকে X বা Y যেকোনো একটির জন্য ধ্রুবক রাখা হয়, কিন্তু উভয়ের জন্য নয়; যেখানে পার্শিয়াল কোরিলেশনের জন্য, তৃতীয় ভেরিয়েবলটিকে উভয়ের জন্যই ধ্রুবক রাখা হয়। সেমিপার্শিয়াল কোরিলেশন একটি ভেরিয়েবলের অনন্য পরিবর্তনের (Z ভেরিয়েবল(গুলোর) সাথে সম্পর্কিত পরিবর্তন দূর করার পর) সাথে অন্যটির ফিল্টারহীন পরিবর্তনের তুলনা করে, যেখানে পার্শিয়াল কোরিলেশন একটি ভেরিয়েবলের অনন্য পরিবর্তনের সাথে অন্যটির অনন্য পরিবর্তনের তুলনা করে।

সেমিপার্শিয়াল কোরিলেশনকে আরও ব্যবহারিকভাবে প্রাসঙ্গিক হিসেবে দেখা যেতে পারে "কারণ এটি ডিপেন্ডেন্ট (রেসপন্স) ভেরিয়েবলের মোট পরিবর্তনশীলতার সাথে স্কেল করা (অর্থাৎ আপেক্ষিক)।" বিপরীতভাবে, এটি তাত্ত্বিকভাবে কম দরকারী কারণ এটি ইন্ডিপেন্ডেন্ট ভেরিয়েবলের অনন্য অবদানের ভূমিকা সম্পর্কে কম সুনির্দিষ্ট।

X-এর সাথে Y-এর সেমিপার্শিয়াল কোরিলেশনের পরম মান সর্বদা X-এর সাথে Y-এর পার্শিয়াল কোরিলেশনের মানের চেয়ে কম বা সমান হয়। এর কারণ হলো: ধরা যাক X-এর সাথে Z-এর কোরিলেশন X থেকে দূর করা হয়েছে, যা রেসিডিউয়াল ভেক্টর e_x দেয়। সেমিপার্শিয়াল কোরিলেশন গণনা করার সময়, Y-তে এখনও অনন্য ভেদাঙ্ক এবং Z-এর সাথে এর সম্পর্কের কারণে ভেদাঙ্ক উভয়ই থাকে। কিন্তু e_x, Z-এর সাথে অসংলগ্ন হওয়ায়, Y-এর ভেদাঙ্কের কেবল কিছু অনন্য অংশ ব্যাখ্যা করতে পারে এবং Z-এর সাথে সম্পর্কিত অংশটি নয়। বিপরীতে, পার্শিয়াল কোরিলেশনের ক্ষেত্রে, কেবল e_y (Y-এর ভেদাঙ্কের যে অংশটি Z-এর সাথে অসংলগ্ন) ব্যাখ্যা করা হয়, তাই e_x ব্যাখ্যা করতে পারে না এমন ধরনের ভেদাঙ্ক কম থাকে।

টাইম সিরিজ বিশ্লেষণে ব্যবহার

টাইম সিরিজ বিশ্লেষণ-এ (time series analysis), একটি টাইম সিরিজের পার্শিয়াল অটো-কোরিলেশন ফাংশন (কখনও কখনও "পার্শিয়াল কোরিলেশন ফাংশন"), ল্যাগ $h$-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়

$\phi (h)={\rho }_{X_0{X}_h\cdot \{X_1,\dots ,X_{h-1}\}}$

এই ফাংশনটি একটি অটো-রিগ্রেশন-এর জন্য উপযুক্ত ল্যাগ দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়।

পার্শিয়াল কোরিলেশন উইথ শ্রিঙ্কেজ

যখন স্যাম্পল সাইজ ভেরিয়েবলের সংখ্যার চেয়ে ছোট হয়, যাকে হাই-ডাইমেনশনাল সেটিং বলা হয়, তখন পার্শিয়াল কোরিলেশন অনুমান করা চ্যালেঞ্জিং হতে পারে। এই পরিস্থিতিতে, স্যাম্পল কোভ্যারিয়েন্স $\hat{\mathrm{\Sigma }}$ ভালোভাবে কন্ডিশনড নয় এবং এর ইনভার্স $\hat{\mathrm{\Omega }}$ খুঁজে বের করা সমস্যাযুক্ত হয়ে পড়ে।

শ্রিঙ্কেজ এস্টিমেশন পদ্ধতি $\hat{\mathrm{\Sigma }}$ বা $\hat{\mathrm{\Omega }}$-কে উন্নত করে এবং আরও নির্ভরযোগ্য পার্শিয়াল কোরিলেশন অনুমান তৈরি করে। একটি উদাহরণ হলো লেডয়েট-উলফ শ্রিঙ্কেজ এস্টিমেটর,

${\hat{\mathrm{\Sigma }}}^{[\lambda ]}=\lambda T+(1-\lambda )\mathrm{\Sigma }$

যেখানে $\hat{\mathrm{\Sigma }}$ হলো স্যাম্পল কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স, $T$ হলো একটি টার্গেট ম্যাট্রিক্স (যেমন, একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স), এবং শ্রিঙ্কেজ ইনটেনসিটি $\lambda \in (0,1)$।

লেডয়েট-উলফ শ্রিঙ্কেজের অধীনে পার্শিয়াল কোরিলেশন তখন হয়:

${\hat{P}}_{ij}^{[\lambda ]}=\frac{{\hat{\mathrm{\Omega }}}_{ij}^{[\lambda ]}}{\sqrt{{\hat{\mathrm{\Omega }}}_{ii}^{[\lambda ]}{\hat{\mathrm{\Omega }}}_{jj}^{[\lambda ]}}}$

যেখানে ${\hat{\mathrm{\Omega }}}_{ij}^{[\lambda ]}$ হলো ${\hat{\mathrm{\Sigma }}}_{ij}^{[\lambda ]}$-এর ইনভার্স। এই পদ্ধতিটি ফিন্যান্স এবং জিনোমিক্সসহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

আরও দেখুন

• রৈখিক রিগ্রেশন
• কন্ডিশনাল ইন্ডিপেন্ডেন্স
• মাল্টিপল কোরিলেশন
• পার্শিয়াল ইনফরমেশন ডিকম্পোজিশন

বহিঃসংযোগ

• Partial_correlation_coefficient&oldid=14288
• IMSL Numerical Library PCORR routine-এর "Description" বিভাগে গাণিতিক সূত্র
• একটি তিন-ভেরিয়েবলের উদাহরণ

descriptive

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Partial correlation” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_correlation এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।