কোরিলোগ্রাম

একটি চিত্র যা ১০০টি র‍্যান্ডম বা দৈব সংখ্যার সাথে একটি "লুকানো" sine ফাংশন প্রদর্শন করছে এবং নিচে সিরিজটির একটি অটো-কোরিলেশন (কোরিলোগ্রাম) দেখানো হয়েছে।

ডেটা বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে, একটি কোরিলোগ্রাম (correlogram) হলো correlation বা সহ-সম্পর্ক পরিসংখ্যানের একটি chart বা চিত্র। উদাহরণস্বরূপ, time series analysis বা টাইম সিরিজ বিশ্লেষণে, নমুনা autocorrelation $r_h$ বনাম $h$ (টাইম ল্যাগ বা সময়ের ব্যবধান)-এর একটি প্লট হলো একটি অটো-কোরিলোগ্রাম। যদি cross-correlation প্লট করা হয়, তবে ফলাফলটিকে বলা হয় ক্রস-কোরিলোগ্রাম।

কোরিলোগ্রাম হলো একটি data set বা ডেটাসেটের randomness বা দৈবতা যাচাই করার জন্য বহুল ব্যবহৃত একটি সরঞ্জাম। যদি ডেটা দৈব হয়, তবে যেকোনো টাইম-ল্যাগ ব্যবধানের জন্য অটো-কোরিলেশন শূন্যের কাছাকাছি হওয়া উচিত। যদি তা দৈব না হয়, তবে এক বা একাধিক অটো-কোরিলেশন উল্লেখযোগ্যভাবে শূন্য থেকে ভিন্ন হবে।

এছাড়াও, Box–Jenkins autoregressive moving average time series মডেলের model identification বা মডেল শনাক্তকরণ পর্যায়ে কোরিলোগ্রাম ব্যবহৃত হয়। দৈবতা যাচাইয়ের জন্য অটো-কোরিলেশন শূন্যের কাছাকাছি হওয়া উচিত; যদি বিশ্লেষক দৈবতা যাচাই না করেন, তবে অনেক পরিসংখ্যানগত সিদ্ধান্তের বৈধতা সন্দেহজনক হয়ে পড়ে। এই ধরনের দৈবতা যাচাইয়ের জন্য কোরিলোগ্রাম একটি চমৎকার উপায়।

multivariate analysis বা মাল্টিভ্যারিয়েট বিশ্লেষণে, color mapping বা কালার-ম্যাপিং ইমেজ হিসেবে প্রদর্শিত correlation matrices-কেও "কোরিলোগ্রাম" বা "কোরগ্রাম" (corrgrams) বলা হতে পারে।

প্রয়োগ

কোরিলোগ্রাম নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলোর উত্তর প্রদানে সাহায্য করতে পারে:

• ডেটা কি দৈব (random)?
• একটি পর্যবেক্ষণ কি তার পার্শ্ববর্তী পর্যবেক্ষণের সাথে সম্পর্কিত?
• একটি পর্যবেক্ষণ কি দুই ধাপ আগের পর্যবেক্ষণের সাথে সম্পর্কিত? (ইত্যাদি)
• পর্যবেক্ষিত টাইম সিরিজটি কি white noise?
• পর্যবেক্ষিত টাইম সিরিজটি কি সাইনুসয়ডাল (sinusoidal)?
• পর্যবেক্ষিত টাইম সিরিজটি কি অটো-রিগ্রেসিভ?
• পর্যবেক্ষিত টাইম সিরিজের জন্য উপযুক্ত মডেল কোনটি?
• মডেলটি কি

$Y=\text{constant}+\text{error}$

বৈধ এবং যথেষ্ট?

• সূত্রটি $s_{\overline{Y}}=s/\sqrt{N}$ কি বৈধ?

গুরুত্ব

দৈবতা (স্থির মডেল, স্থির পরিবর্তন এবং স্থির বিন্যাসের পাশাপাশি) হলো চারটি অনুমানের একটি, যা সাধারণত সমস্ত পরিমাপ প্রক্রিয়ার ভিত্তি হিসেবে কাজ করে। দৈবতার অনুমানটি নিম্নলিখিত তিনটি কারণে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ:

• অধিকাংশ স্ট্যান্ডার্ড statistical test বা পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা দৈবতার ওপর নির্ভর করে। পরীক্ষার সিদ্ধান্তের বৈধতা সরাসরি দৈবতার অনুমানের বৈধতার সাথে যুক্ত।
• অনেক বহুল ব্যবহৃত পরিসংখ্যানগত সূত্র দৈবতার অনুমানের ওপর নির্ভর করে, যার মধ্যে সবচেয়ে সাধারণ সূত্রটি হলো নমুনার গড়ের standard error বা আদর্শ ত্রুটি নির্ণয়ের সূত্র:

$s_{\overline{Y}}=s/\sqrt{N}$

যেখানে s হলো ডেটার standard deviation বা আদর্শ বিচ্যুতি। যদিও এটি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, তবে দৈবতার অনুমান সঠিক না হলে এই সূত্র থেকে প্রাপ্ত ফলাফলের কোনো মূল্য নেই।

• ইউনিভ্যারিয়েট ডেটার জন্য, ডিফল্ট মডেলটি হলো

$Y=\text{constant}+\text{error}$

যদি ডেটা দৈব না হয়, তবে এই মডেলটি ভুল এবং অবৈধ, এবং প্যারামিটারগুলোর (যেমন ধ্রুবক) প্রাক্কলন অর্থহীন ও অবৈধ হয়ে পড়ে।

অটো-কোরিলেশনের প্রাক্কলন

ল্যাগ h-এ অটো-কোরিলেশন সহগ হলো

$r_h=c_h/c_0$

যেখানে c_h হলো autocovariance function বা অটো-কোভ্যারিয়েন্স ফাংশন

$c_h=\frac{1}{N}\sum _{t=1}^{N-h}(Y_t-\overline{Y})(Y_{t+h}-\overline{Y})$

এবং c₀ হলো variance function বা ভ্যারিয়েন্স ফাংশন

$c_0=\frac{1}{N}\sum _{t=1}^N{(Y_t-\overline{Y})}^2$

r_h-এর প্রাপ্ত মান −১ এবং +১-এর মধ্যে থাকবে।

বিকল্প প্রাক্কলন

কিছু উৎস অটো-কোভ্যারিয়েন্স ফাংশনের জন্য নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করতে পারে:

$c_h=\frac{1}{N-h}\sum _{t=1}^{N-h}(Y_t-\overline{Y})(Y_{t+h}-\overline{Y})$

যদিও এই সংজ্ঞায় bias বা পক্ষপাত কম থাকে, তবুও (1/N) ফর্মুলেশনটির কিছু পছন্দনীয় পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং এটি পরিসংখ্যানের সাহিত্যে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়। বিস্তারিত জানার জন্য চ্যাটফিল্ডের (Chatfield) ২০ এবং ৪৯–৫০ পৃষ্ঠা দেখুন।

উপরের সংজ্ঞার বিপরীতে, এই সংজ্ঞাটি আমাদের কিছুটা বেশি স্বজ্ঞাত উপায়ে $c_h$ গণনা করতে দেয়। নমুনা $Y_1,\dots ,Y_N$ বিবেচনা করুন, যেখানে $Y_i\in {\mathbb{ℝ}}^n$ এবং $i=1,\dots ,N$। তাহলে, ধরুন

$X=\left[\begin{array}{ccc}{Y}_1-\overline{Y}& \cdots & Y_N-\overline{Y}\end{array}\right]\in {\mathbb{ℝ}}^{n\times N}$

আমরা তখন Gram matrix $Q=X^{\mathrm{\top }}X$ গণনা করি। পরিশেষে, $c_h$ হলো $Q$-এর h-তম কর্ণের নমুনার গড়। উদাহরণস্বরূপ, $Q$-এর ০-তম কর্ণের (প্রধান কর্ণ) $N$ টি উপাদান রয়েছে এবং এর নমুনার গড় $c_0$-এর সাথে মিলে যায়। ১ম কর্ণের (প্রধান কর্ণের ডানদিকে) $N-1$ টি উপাদান রয়েছে এবং এর নমুনার গড় $c_1$-এর সাথে মিলে যায়, এবং এভাবেই চলতে থাকে।

কোরিলোগ্রাম ব্যবহার করে পরিসংখ্যানগত অনুমান

প্রথম-ক্রমের অটো-রিগ্রেসিভ প্রক্রিয়ার ৪০০-পয়েন্ট নমুনার কোরিলোগ্রাম উদাহরণ, যেখানে পার্শ্ববর্তী পয়েন্টগুলোর ০.৭৫ কোরিলেশন রয়েছে, সাথে ৯৫% confidence interval (কালো রঙে কোরিলেশন প্রাক্কলন এবং লাল রঙে শূন্যের চারপাশে প্লট করা হয়েছে), যা এই সেকশনের সমীকরণ দ্বারা গণনা করা হয়েছে। ড্যাশযুক্ত নীল রেখাটি নমুনা প্রক্রিয়ার প্রকৃত অটো-কোরিলেশন ফাংশন প্রদর্শন করে।

পূর্ববর্তী চিত্রের মতো একই দৈব প্রক্রিয়ার ৪০০-পয়েন্ট নমুনার ২০টি কোরিলোগ্রাম।

একই গ্রাফে $\alpha$ তাৎপর্য স্তরের সাথে অটো-কোরিলেশনের জন্য উচ্চতর এবং নিম্নতর সীমা আঁকা যেতে পারে:

$B=\pm z_{1-\alpha /2}SE(r_h)$ যেখানে $r_h$ হলো ল্যাগ $h$-এ প্রাক্কলিত অটো-কোরিলেশন।

যদি অটো-কোরিলেশন এই উচ্চতর (নিম্নতর) সীমার চেয়ে বেশি (কম) হয়, তবে একটি নির্দিষ্ট ল্যাগ পর্যন্ত কোনো অটো-কোরিলেশন নেই—এই নাল হাইপোথিসিসটি $\alpha$ তাৎপর্য স্তরে বাতিল করা হয়। এই পরীক্ষাটি একটি আনুমানিক পরীক্ষা এবং এটি ধরে নেয় যে টাইম সিরিজটি Gaussian।

উপরে, z_1−α/2 হলো normal distribution বা স্বাভাবিক বিন্যাসের কোয়ান্টাইল; SE হলো স্ট্যান্ডার্ড এরর, যা MA(ℓ) প্রক্রিয়ার জন্য Bartlett-এর সূত্র দ্বারা গণনা করা যেতে পারে:

$SE(r_1)=\frac{1}{\sqrt{N}}$

$SE(r_h)=\sqrt{\frac{1+2\sum _{i=1}^{h-1}{r}_i^2}{N}}$ যেখানে $h>1.$

প্লট করা উদাহরণে, আমরা নাল হাইপোথিসিসটি বাতিল করতে পারি যে ৪ ল্যাগ পর্যন্ত সময়ের পয়েন্টগুলোর মধ্যে কোনো অটো-কোরিলেশন নেই। দীর্ঘ সময়ের জন্য, কোনো অটো-কোরিলেশন নেই—এই নাল হাইপোথিসিসটি বাতিল করা যায় না।

লক্ষ্য করুন যে কনফিডেন্স ব্যান্ড তৈরির জন্য দুটি স্বতন্ত্র সূত্র রয়েছে:

১. যদি কোরিলোগ্রামটি দৈবতা যাচাই করার জন্য ব্যবহৃত হয় (অর্থাৎ, ডেটাতে কোনো time dependence নেই), তবে নিম্নলিখিত সূত্রটি সুপারিশ করা হয়:

$\pm \frac{z_{1-\alpha /2}}{\sqrt{N}}$

যেখানে N হলো sample size বা নমুনার আকার, z হলো standard normal distribution-এর quantile function এবং α হলো significance level বা তাৎপর্য স্তর। এই ক্ষেত্রে, কনফিডেন্স ব্যান্ডের প্রস্থ স্থির থাকে যা নমুনার আকারের ওপর নির্ভর করে।

২. কোরিলোগ্রামগুলো ARIMA মডেল ফিট করার জন্য মডেল শনাক্তকরণ পর্যায়েও ব্যবহৃত হয়। এই ক্ষেত্রে, ডেটার জন্য একটি moving average model ধরে নেওয়া হয় এবং নিম্নলিখিত কনফিডেন্স ব্যান্ডগুলো তৈরি করা উচিত:

$\pm z_{1-\alpha /2}\sqrt{\frac{1}{N}(1+2\sum _{i=1}^k{r}_i^2)}$

যেখানে k হলো ল্যাগ। এই ক্ষেত্রে, ল্যাগ বাড়ার সাথে সাথে কনফিডেন্স ব্যান্ডগুলো বৃদ্ধি পায়।

সফটওয়্যার

কোরিলোগ্রাম অধিকাংশ সাধারণ পরিসংখ্যানগত লাইব্রেরিতে উপলব্ধ।

কোরিলোগ্রাম:

• python pandas: pandas.plotting.autocorrelation_plot
• R: ফাংশন acf এবং pacf

কোরগ্রাম:

• python seaborn: heatmap, pairplot
• R: corrgram

সম্পর্কিত কৌশল

• Partial autocorrelation function
• Spectral plot
• Seasonal subseries plot
• Scaled Correlation
• Variogram

আরও পড়ুন

• Hanke, John E.. "Business forecasting". Prentice Hall.
• (1976). "Time Series Analysis: Forecasting and Control". Holden-Day.
• Chatfield, C.. (1989). "The Analysis of Time Series: An Introduction". Chapman & Hall.

বহিঃসংযোগ

• Autocorrelation Plot

descriptive

---

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Correlogram” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Correlogram এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।