ইন্টারঅ্যাকশন (পরিসংখ্যান)

পরিসংখ্যানে, তিন বা ততোধিক চলকের মধ্যে সম্পর্ক বিবেচনা করার সময় একটি ইন্টারঅ্যাকশন (interaction) বা মিথস্ক্রিয়া দেখা দিতে পারে। এটি এমন একটি পরিস্থিতি বর্ণনা করে যেখানে একটি কার্যকারণ চলকের প্রভাব অন্য একটি কার্যকারণ চলকের অবস্থার ওপর নির্ভর করে (অর্থাৎ, যখন দুটি কারণের প্রভাব যোজনশীল হয় না)।^[1]^[2] যদিও সাধারণত এটিকে কার্যকারণ সম্পর্কের পরিপ্রেক্ষিতে ভাবা হয়, ইন্টারঅ্যাকশনের ধারণাটি অ-কার্যকারণ সম্পর্ককেও বর্ণনা করতে পারে (যাকে তখন মডারেশন বা ইফেক্ট মডিফিকেশন বলা হয়)। ইন্টারঅ্যাকশনগুলো প্রায়শই রিগ্রেশন বিশ্লেষণ বা ফ্যাক্টোরিয়াল পরীক্ষার প্রেক্ষাপটে বিবেচনা করা হয়।

ইন্টারঅ্যাকশনের উপস্থিতি পরিসংখ্যানগত মডেলের ব্যাখ্যার ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ প্রভাব ফেলতে পারে। যদি আগ্রহের দুটি চলক একে অপরের সাথে ইন্টারঅ্যাক্ট করে, তবে প্রতিটি ইন্টারঅ্যাক্টিং চলক এবং একটি তৃতীয় "নির্ভরশীল চলকের" (dependent variable) মধ্যে সম্পর্কটি অন্য ইন্টারঅ্যাক্টিং চলকের মানের ওপর নির্ভর করে। বাস্তবে, এটি কোনো চলকের মান পরিবর্তনের ফলাফল অনুমান করাকে আরও কঠিন করে তোলে, বিশেষ করে যদি যে চলকগুলোর সাথে এটি ইন্টারঅ্যাক্ট করে সেগুলো পরিমাপ করা বা নিয়ন্ত্রণ করা কঠিন হয়।

"ইন্টারঅ্যাকশন"-এর ধারণাটি সামাজিক ও স্বাস্থ্য বিজ্ঞান গবেষণায় প্রচলিত মডারেশনের ধারণার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত: একটি ব্যাখ্যামূলক চলক (explanatory variable) এবং একটি পরিবেশগত চলকের মধ্যে ইন্টারঅ্যাকশন নির্দেশ করে যে ব্যাখ্যামূলক চলকের প্রভাব পরিবেশগত চলক দ্বারা মডারেট বা পরিবর্তিত হয়েছে।^[1]

ভূমিকা

একটি ইন্টারঅ্যাকশন ভেরিয়েবল বা ইন্টারঅ্যাকশন ফিচার হলো এমন একটি চলক যা মূল চলকগুলোর সেট থেকে তৈরি করা হয়, যার উদ্দেশ্য হলো বিদ্যমান ইন্টারঅ্যাকশনের পুরোটা বা কোনো অংশকে উপস্থাপন করা। অনুসন্ধানমূলক পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণে, ইন্টারঅ্যাকশন বিদ্যমান কি না তা পরীক্ষা করার ভিত্তি হিসেবে মূল চলকগুলোর গুণফল ব্যবহার করা সাধারণ বিষয়, পরবর্তীতে অন্য আরও বাস্তবসম্মত ইন্টারঅ্যাকশন ভেরিয়েবল দিয়ে সেগুলোকে প্রতিস্থাপনের সম্ভাবনা থাকে। যখন দুইয়ের অধিক ব্যাখ্যামূলক চলক থাকে, তখন বেশ কয়েকটি ইন্টারঅ্যাকশন ভেরিয়েবল তৈরি করা হয়, যেখানে জোড়ায় জোড়ায় গুণফলগুলো জোড়ায় জোড়ায় ইন্টারঅ্যাকশন এবং উচ্চতর ঘাতের গুণফলগুলো উচ্চতর পর্যায়ের ইন্টারঅ্যাকশনকে উপস্থাপন করে।

সুতরাং, একটি রেসপন্স Y এবং দুটি চলক x₁ ও x₂-এর জন্য একটি যোজনশীল (additive) মডেল হবে:

Y = c + a x_{1} + b x_{2} + error

এর বিপরীতে,

Y = c + a x_{1} + b x_{2} + d (x_{1} \times x_{2}) + error

হলো চলক x₁ এবং x₂-এর মধ্যে একটি ইন্টারঅ্যাকশন মডেলের উদাহরণ ("error" বলতে সেই র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলকে বোঝায় যার মান দ্বারা Y তার প্রত্যাশিত মান থেকে পৃথক হয়; দেখুন errors and residuals in statistics)। প্রায়শই, মডেলগুলো ইন্টারঅ্যাকশন টার্ম $d (x_{1} \times x_{2})$ ছাড়াই উপস্থাপন করা হয়, কিন্তু এটি মূল প্রভাব (main effect) এবং ইন্টারঅ্যাকশন প্রভাবকে গুলিয়ে ফেলে (অর্থাৎ, ইন্টারঅ্যাকশন টার্ম নির্দিষ্ট না করলে, এটি সম্ভব যে প্রাপ্ত যেকোনো মূল প্রভাব আসলে একটি ইন্টারঅ্যাকশনের কারণে হয়েছে)।

তাছাড়া, হায়ারার্কিকাল প্রিন্সিপল বা শ্রেণিবিন্যাস নীতি অনুযায়ী, যদি কোনো মডেলে চলকগুলোর মধ্যে ইন্টারঅ্যাকশন অন্তর্ভুক্ত থাকে, তবে তাদের নিজস্ব পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য নির্বিশেষে মূল প্রভাবগুলোকেও অন্তর্ভুক্ত করা আবশ্যক।^[3]

মডেলিংয়ে

ANOVA-তে

একটি সহজ পরিস্থিতি যেখানে ইন্টারঅ্যাকশন দেখা দিতে পারে তা হলো টু-ফ্যাক্টর পরীক্ষা, যা Analysis of Variance (ANOVA) ব্যবহার করে বিশ্লেষণ করা হয়। ধরুন আমাদের দুটি বাইনারি ফ্যাক্টর A এবং B আছে। উদাহরণস্বরূপ, এই ফ্যাক্টরগুলো নির্দেশ করতে পারে যে কোনো রোগীকে দুটি চিকিৎসার মধ্যে কোনোটি দেওয়া হয়েছে কি না, যেখানে চিকিৎসাগুলো এককভাবে বা সমন্বিতভাবে প্রয়োগ করা হয়েছে। আমরা তখন প্রতিটি রোগীর জন্য গড় চিকিৎসার প্রতিক্রিয়া (যেমন চিকিৎসার পরবর্তী উপসর্গের মাত্রা) বিবেচনা করতে পারি, যা প্রয়োগকৃত চিকিৎসার সমন্বয়ের একটি ফাংশন। নিচের সারণীটি একটি সম্ভাব্য পরিস্থিতি দেখায়:

	B = 0	B = 1
A = 0	6	7
A = 1	4	5

এই উদাহরণে, দুটি চিকিৎসার মধ্যে কোনো ইন্টারঅ্যাকশন নেই — তাদের প্রভাব যোজনশীল। এর কারণ হলো, চিকিৎসা A গ্রহণকারী এবং চিকিৎসা A গ্রহণ না করা রোগীদের মধ্যে গড় প্রতিক্রিয়ার পার্থক্য হলো −2, তা চিকিৎসা B প্রয়োগ করা হোক (−2 = 4 − 6) বা না হোক (−2 = 5 − 7)। লক্ষ্য করুন যে, এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে অনুসরণ করে যে চিকিৎসা B গ্রহণকারী এবং চিকিৎসা B গ্রহণ না করা রোগীদের মধ্যে গড় প্রতিক্রিয়ার পার্থক্য একই থাকে, তা চিকিৎসা A প্রয়োগ করা হোক বা না হোক (7 − 6 = 5 − 4)।

এর বিপরীতে, যদি নিচের গড় প্রতিক্রিয়াগুলো পরিলক্ষিত হয়

	B = 0	B = 1
A = 0	1	4
A = 1	7	6

তবে চিকিৎসাগুলোর মধ্যে একটি ইন্টারঅ্যাকশন রয়েছে — তাদের প্রভাব যোজনশীল নয়। যদি ধরে নেওয়া হয় যে বড় সংখ্যাগুলো ভালো প্রতিক্রিয়ার নির্দেশক, তবে এই পরিস্থিতিতে চিকিৎসা B গড়ে উপকারী যদি রোগী চিকিৎসা A গ্রহণ না করে, কিন্তু চিকিৎসা A-এর সাথে সমন্বিতভাবে দিলে তা গড়ে ক্ষতিকর। চিকিৎসা A গড়ে উপকারী, তা চিকিৎসা B দেওয়া হোক বা না হোক, কিন্তু এটি এককভাবে দিলে চিকিৎসা B-এর সাথে সমন্বিতভাবে দেওয়ার চেয়ে পরম এবং আপেক্ষিক উভয় দিক থেকেই বেশি উপকারী। পরবর্তী বিভাগে এই নির্দিষ্ট উদাহরণের জন্য একই ধরনের পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে।

গুণগত এবং পরিমাণগত ইন্টারঅ্যাকশন

অনেক অ্যাপ্লিকেশনে গুণগত এবং পরিমাণগত ইন্টারঅ্যাকশনের মধ্যে পার্থক্য করা দরকারী।^[4] A এবং B-এর মধ্যে একটি পরিমাণগত ইন্টারঅ্যাকশন হলো এমন একটি পরিস্থিতি যেখানে B-এর প্রভাবের মাত্রা A-এর মানের ওপর নির্ভর করে, কিন্তু B-এর প্রভাবের দিকটি সব A-এর জন্য স্থির থাকে। A এবং B-এর মধ্যে একটি গুণগত ইন্টারঅ্যাকশন বলতে এমন একটি পরিস্থিতি বোঝায় যেখানে প্রতিটি চলকের প্রভাবের মাত্রা এবং দিক উভয়ই অন্য চলকের মানের ওপর নির্ভর করতে পারে।

নিচে বাম দিকের গড়ের সারণীটি একটি পরিমাণগত ইন্টারঅ্যাকশন দেখায় — চিকিৎসা A উপকারী, যখন B দেওয়া হয় এবং যখন B দেওয়া হয় না উভয় ক্ষেত্রেই, কিন্তু উপকারটি বেশি হয় যখন B দেওয়া হয় না (অর্থাৎ যখন A এককভাবে দেওয়া হয়)। ডানদিকের গড়ের সারণীটি একটি গুণগত ইন্টারঅ্যাকশন দেখায়। A ক্ষতিকর যখন B দেওয়া হয়, কিন্তু এটি উপকারী যখন B দেওয়া হয় না। লক্ষ্য করুন যে, আমরা যদি A দেওয়া হয়েছে কি না তার ওপর ভিত্তি করে B-এর উপকারিতা বিবেচনা করি, তবে একই ব্যাখ্যা প্রযোজ্য হবে।

	B = 0	B = 1							B = 0	B = 1
A = 0	2	1						A = 0	2	6
A = 1	5	3						A = 1	5	3

গুণগত এবং পরিমাণগত ইন্টারঅ্যাকশনের মধ্যে পার্থক্য চলকগুলো কোন ক্রমে বিবেচনা করা হচ্ছে তার ওপর নির্ভর করে (বিপরীতে, যোজনশীলতার বৈশিষ্ট্য চলকগুলোর ক্রমের ওপর অপরিবর্তনীয়)। নিচের সারণীতে, যদি আমরা চিকিৎসা A-এর প্রভাবের ওপর মনোযোগ দিই, তবে একটি পরিমাণগত ইন্টারঅ্যাকশন রয়েছে — চিকিৎসা A দিলে তা গড়ে ফলাফল উন্নত করবে, তা চিকিৎসা B ইতিমধ্যে দেওয়া হোক বা না হোক (যদিও উপকারটি বেশি হয় যদি চিকিৎসা A এককভাবে দেওয়া হয়)। তবে, যদি আমরা চিকিৎসা B-এর প্রভাবের ওপর মনোযোগ দিই, তবে একটি গুণগত ইন্টারঅ্যাকশন রয়েছে — এমন একজন রোগীকে চিকিৎসা B দেওয়া যিনি ইতিমধ্যে চিকিৎসা A গ্রহণ করছেন, তা (গড়ে) পরিস্থিতি খারাপ করবে, যেখানে এমন একজন রোগীকে চিকিৎসা B দেওয়া যিনি চিকিৎসা A গ্রহণ করছেন না, তা গড়ে ফলাফল উন্নত করবে।

	B = 0	B = 1
A = 0	1	4
A = 1	7	6

ইউনিট ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটি

এর সহজতম রূপে, ট্রিটমেন্ট ইউনিট অ্যাডিটিভিটির অনুমান বলে যে, পরীক্ষা ইউনিট i থেকে প্রাপ্ত পর্যবেক্ষণকৃত প্রতিক্রিয়া y_ij, যখন চিকিৎসা j গ্রহণ করে, তাকে y_ij = y_i + t_j যোগফল হিসেবে লেখা যায়।^[5]^[6]^[7] ইউনিট ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটির অনুমানটি বোঝায় যে প্রতিটি চিকিৎসার প্রতিটি পরীক্ষা ইউনিটের ওপর ঠিক একই যোজনশীল প্রভাব রয়েছে। যেহেতু যেকোনো নির্দিষ্ট পরীক্ষা ইউনিট কেবল একটি চিকিৎসা গ্রহণ করতে পারে, তাই কক্স এবং কেম্পথর্নের মতে, ইউনিট ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটির অনুমানটি এমন একটি হাইপোথিসিস যা সরাসরি মিথ্যা প্রমাণযোগ্য নয়।

যাইহোক, ট্রিটমেন্ট-ইউনিট অ্যাডিটিভিটির অনেক ফলাফল মিথ্যা প্রমাণ করা যেতে পারে। একটি র‍্যান্ডমাইজড পরীক্ষার জন্য, ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটির অনুমানটি বোঝায় যে সমস্ত চিকিৎসার জন্য ভ্যারিয়েন্স বা ভেদাঙ্ক স্থির। অতএব, কন্ট্রাপজিশন দ্বারা, ইউনিট ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটির একটি প্রয়োজনীয় শর্ত হলো ভ্যারিয়েন্স স্থির থাকা।

ইউনিট ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটির বৈশিষ্ট্য স্কেল পরিবর্তনের অধীনে অপরিবর্তনীয় নয়, তাই পরিসংখ্যানবিদরা প্রায়শই ইউনিট ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটি অর্জনের জন্য রূপান্তর (transformations) ব্যবহার করেন। যদি রেসপন্স ভেরিয়েবলটি সম্ভাব্য ডিস্ট্রিবিউশনের একটি প্যারামেট্রিক পরিবার অনুসরণ করবে বলে আশা করা হয়, তবে পরিসংখ্যানবিদ (পরীক্ষা বা পর্যবেক্ষণমূলক গবেষণার প্রোটোকলে) নির্দিষ্ট করতে পারেন যে ভ্যারিয়েন্স স্থিতিশীল করার জন্য প্রতিক্রিয়াগুলোকে রূপান্তরিত করা হবে।^[8] অনেক ক্ষেত্রে, একজন পরিসংখ্যানবিদ নির্দিষ্ট করতে পারেন যে প্রতিক্রিয়াগুলোর ওপর লগারিদমিক রূপান্তর প্রয়োগ করা হবে, যা একটি গুণন মডেল (multiplicative model) অনুসরণ করে বলে বিশ্বাস করা হয়।^[6]^[9]

ইউনিট ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটির অনুমানটি পরীক্ষামূলক ডিজাইনে কেম্পথর্ন এবং কক্স দ্বারা বর্ণিত হয়েছিল। ইউনিট ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটি এবং র‍্যান্ডমাইজেশনের কেম্পথর্নের ব্যবহার সসীম পপুলেশন সার্ভে স্যাম্পলিংয়ের ডিজাইন-ভিত্তিক বিশ্লেষণের অনুরূপ।

সাম্প্রতিক বছরগুলোতে, ডোনাল্ড রুবিনের পরিভাষা ব্যবহার করা সাধারণ হয়ে উঠেছে, যা কাউন্টারফ্যাকচুয়াল ব্যবহার করে। ধরুন আমরা কিছু বৈশিষ্ট্য y-এর সাপেক্ষে দুই দল মানুষের তুলনা করছি। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম দলটি এমন ব্যক্তিদের নিয়ে গঠিত হতে পারে যাদের একটি মেডিকেল কন্ডিশনের জন্য স্ট্যান্ডার্ড চিকিৎসা দেওয়া হয়, এবং দ্বিতীয় দলটি এমন ব্যক্তিদের নিয়ে গঠিত যারা অজানা প্রভাবের একটি নতুন চিকিৎসা গ্রহণ করে। একটি "কাউন্টারফ্যাকচুয়াল" দৃষ্টিভঙ্গি গ্রহণ করে, আমরা এমন একজন ব্যক্তিকে বিবেচনা করতে পারি যার বৈশিষ্ট্য y মান ধারণ করে যদি সেই ব্যক্তি প্রথম দলের অন্তর্ভুক্ত হয়, এবং যার বৈশিষ্ট্য τ(y) মান ধারণ করে যদি ব্যক্তিটি দ্বিতীয় দলের অন্তর্ভুক্ত হয়। "ইউনিট ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটি"-এর অনুমান হলো τ(y) = τ, অর্থাৎ, "চিকিৎসার প্রভাব" y-এর ওপর নির্ভর করে না। যেহেতু আমরা কোনো নির্দিষ্ট ব্যক্তির জন্য y এবং τ(y) উভয়ই পর্যবেক্ষণ করতে পারি না, তাই এটি ব্যক্তিগত পর্যায়ে পরীক্ষাযোগ্য নয়। যাইহোক, ইউনিট ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটি বোঝায় যে দুটি দলের জন্য কিউমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন F₁ এবং F₂ শর্ত পূরণ করে: F₂(y) = F₁(y − τ), যতক্ষণ না দল ১ এবং ২-এ ব্যক্তিদের নিয়োগ y-কে প্রভাবিত করে এমন অন্য সব ফ্যাক্টর থেকে স্বাধীন হয় (অর্থাৎ কোনো কনফাউন্ডার নেই)। ইউনিট ট্রিটমেন্ট অ্যাডিটিভিটির অভাবকে ট্রিটমেন্ট অ্যাসাইনমেন্ট (যেমন দল ১ বা ২-এ) এবং y-এর বেসলাইন বা অ-চিকিৎসাকৃত মানের মধ্যে এক ধরনের ইন্টারঅ্যাকশন হিসেবে দেখা যেতে পারে।

ক্যাটাগরিক্যাল চলক

কখনও কখনও ইন্টারঅ্যাক্টিং চলকগুলো বাস্তব সংখ্যার পরিবর্তে ক্যাটাগরিক্যাল চলক হয় এবং তখন গবেষণাটিকে একটি analysis of variance সমস্যা হিসেবে দেখা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি পপুলেশনের সদস্যদের ধর্ম এবং পেশা দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। যদি কেউ কেবল ব্যক্তির ধর্ম এবং পেশার ওপর ভিত্তি করে ব্যক্তির উচ্চতা অনুমান করতে চায়, তবে একটি সাধারণ যোজনশীল মডেল, অর্থাৎ ইন্টারঅ্যাকশন ছাড়া একটি মডেল, একটি সামগ্রিক গড় উচ্চতার সাথে একটি নির্দিষ্ট ধর্মের জন্য একটি সমন্বয় এবং একটি নির্দিষ্ট পেশার জন্য আরেকটি সমন্বয় যোগ করবে। ইন্টারঅ্যাকশনসহ একটি মডেল, একটি যোজনশীল মডেলের বিপরীতে, সেই ধর্ম এবং সেই পেশার মধ্যে "ইন্টারঅ্যাকশন"-এর জন্য একটি অতিরিক্ত সমন্বয় যোগ করতে পারে। এই উদাহরণটি কাউকে সন্দেহ করতে বাধ্য করতে পারে যে ইন্টারঅ্যাকশন শব্দটি কিছুটা ভুল নাম।

পরিসংখ্যানগতভাবে, ক্যাটাগরিক্যাল চলকগুলোর মধ্যে ইন্টারঅ্যাকশনের উপস্থিতি সাধারণত analysis of variance (ANOVA)-এর একটি রূপ ব্যবহার করে পরীক্ষা করা হয়। তবে, যদি চলকগুলোর মধ্যে একটি বা একাধিক প্রকৃতিগতভাবে অবিচ্ছিন্ন (continuous) হয়, তবে এটি সাধারণত মডারেটেড মাল্টিপল রিগ্রেশন ব্যবহার করে পরীক্ষা করা হবে।^[10] একে এই নামে ডাকা হয় কারণ মডারেটর হলো এমন একটি চলক যা অন্য দুটি চলকের মধ্যে সম্পর্কের শক্তিকে প্রভাবিত করে।

ডিজাইন করা পরীক্ষা

Genichi Taguchi দাবি করেছিলেন^[11] যে রেসপন্স ভেরিয়েবল এবং রূপান্তরের উপযুক্ত নির্বাচনের মাধ্যমে একটি সিস্টেম থেকে ইন্টারঅ্যাকশন দূর করা যেতে পারে। তবে George Box এবং অন্যরা যুক্তি দিয়েছেন যে সাধারণভাবে এমনটি হয় না।^[12]

মডেলের আকার

n প্রেডিক্টর দেওয়া থাকলে, একটি লিনিয়ার মডেলে পদের সংখ্যা যা একটি ধ্রুবক, প্রতিটি প্রেডিক্টর এবং প্রতিটি সম্ভাব্য ইন্টারঅ্যাকশন অন্তর্ভুক্ত করে তা হলো $(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + \dots + (\binom{n}{n}) = 2^{n}$ । যেহেতু এই পরিমাণটি এক্সপোনেনশিয়ালি বৃদ্ধি পায়, এটি সহজেই অবাস্তবভাবে বড় হয়ে যায়। মডেলের আকার সীমিত করার একটি পদ্ধতি হলো ইন্টারঅ্যাকশনের পর্যায় সীমিত করা। উদাহরণস্বরূপ, যদি কেবল টু-ওয়ে ইন্টারঅ্যাকশন অনুমোদিত হয়, তবে পদের সংখ্যা হয় $(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) = 1 + \frac{1}{2} n + \frac{1}{2} n^{2}$ । নিচের সারণীটি প্রতিটি প্রেডিক্টরের সংখ্যা এবং ইন্টারঅ্যাকশনের সর্বোচ্চ পর্যায়ের জন্য পদের সংখ্যা দেখায়।

পদের সংখ্যা
প্রেডিক্টর	m-ওয়ে ইন্টারঅ্যাকশন পর্যন্ত অন্তর্ভুক্ত
প্রেডিক্টর	2	3	4	5	∞
1	2	2	2	2	2
2	4	4	4	4	4
3	7	8	8	8	8
4	11	15	16	16	16
5	16	26	31	32	32
6	22	42	57	63	64
7	29	64	99	120	128
8	37	93	163	219	256
9	46	130	256	382	512
10	56	176	386	638	1,024
11	67	232	562	1,024	2,048
12	79	299	794	1,586	4,096
13	92	378	1,093	2,380	8,192
14	106	470	1,471	3,473	16,384
15	121	576	1,941	4,944	32,768
20	211	1,351	6,196	21,700	1,048,576
25	326	2,626	15,276	68,406	33,554,432
50	1,276	20,876	251,176	2,369,936	10¹⁵
100	5,051	166,751	4,087,976	79,375,496	10³⁰
1,000	500,501	166,667,501	10¹⁰	10¹²	10³⁰⁰

রিগ্রেশনে

ইন্টারঅ্যাকশন প্রভাব মডেলিংয়ের সবচেয়ে সাধারণ পদ্ধতি হলো রিগ্রেশন, যা উপরে দেওয়া প্রাথমিক সংস্করণ থেকে শুরু হয়:

Y = c + a x_{1} + b x_{2} + d (x_{1} \times x_{2}) + error

যেখানে ইন্টারঅ্যাকশন টার্ম $(x_{1} \times x_{2})$ স্পষ্টভাবে দুটি (বা ততোধিক) চলককে গুণ করে তৈরি করা যেতে পারে, অথবা আধুনিক পরিসংখ্যানগত প্যাকেজ যেমন Stata-তে ফ্যাক্টোরিয়াল নোটেশন ব্যবহার করে পরোক্ষভাবে তৈরি করা যেতে পারে। উপাদান x₁ এবং x₂ পরিমাপ বা {0,1} ডামি চলক যেকোনো সমন্বয়ে হতে পারে। একটি ডামি চলককে একটি পরিমাপ চলক দ্বারা গুণ করে যে ইন্টারঅ্যাকশন তৈরি হয় তাকে স্লোপ ডামি ভেরিয়েবল বলা হয়,^[13] কারণ এগুলো গ্রুপ ০ এবং ১-এর মধ্যে ঢালের পার্থক্য অনুমান এবং পরীক্ষা করে।

যখন ইন্টারঅ্যাকশনে পরিমাপ চলক ব্যবহার করা হয়, তখন প্রায়শই কেন্দ্রিক সংস্করণগুলোর (centered versions) সাথে কাজ করা বাঞ্ছনীয়, যেখানে চলকের গড় (বা অন্য কোনো যুক্তিসঙ্গত কেন্দ্রীয় মান) শূন্য হিসেবে সেট করা হয়। সেন্টারিং ইন্টারঅ্যাকশন মডেলের মূল প্রভাবগুলোকে আরও ব্যাখ্যাযোগ্য করে তুলতে পারে, কারণ এটি ইন্টারঅ্যাকশন টার্ম এবং মূল প্রভাবগুলোর মধ্যে মাল্টিকোলিনিয়ারিটি হ্রাস করে।^[14] উপরের সমীকরণে সহগ a, উদাহরণস্বরূপ, x₁-এর প্রভাবকে উপস্থাপন করে যখন x₂ শূন্যের সমান হয়।

ইন্টারঅ্যাকশন মডেলিংয়ের রিগ্রেশন পদ্ধতিগুলো অত্যন্ত সাধারণ কারণ এগুলো অতিরিক্ত প্রেডিক্টর এবং ordinary least squares-এর বাইরে অনেক বিকল্প স্পেসিফিকেশন বা এস্টিমেশন কৌশল গ্রহণ করতে পারে। রোবাস্ট, কোয়ান্টাইল, এবং মিক্সড-ইফেক্ট (মাল্টিলেভেল) মডেলগুলো সম্ভাবনার মধ্যে রয়েছে, যেমনটি generalized linear modelিং যা ক্যাটাগরিক্যাল, অর্ডার্ড, কাউন্টেড বা অন্যথায় সীমিত নির্ভরশীল চলকগুলোর একটি বিস্তৃত পরিসরকে অন্তর্ভুক্ত করে। গ্রাফটি একটি শিক্ষা*রাজনীতি ইন্টারঅ্যাকশন চিত্রিত করে, যা জরিপ ডেটার একটি প্রোবাবিলিটি-ওয়েটেড logit regression বিশ্লেষণ থেকে প্রাপ্ত।^[15]

ইন্টারঅ্যাকশন প্লট

ইন্টারঅ্যাকশন প্লট, যাকে সিম্পল-স্লোপ প্লটও বলা হয়, চলকগুলোর মধ্যে সম্ভাব্য ইন্টারঅ্যাকশন দেখায়।

উদাহরণ: প্রজাতি এবং বায়ুর তাপমাত্রার ইন্টারঅ্যাকশন এবং শরীরের তাপমাত্রার ওপর তাদের প্রভাব

ফারেনহাইট ডিগ্রিতে বিভিন্ন বায়ুর তাপমাত্রায় বিভিন্ন প্রজাতির শরীরের তাপমাত্রার একটি গবেষণা বিবেচনা করুন। ডেটা নিচের সারণীতে দেখানো হয়েছে।

ইন্টারঅ্যাকশন প্লটটি x-অক্ষ হিসেবে বায়ুর তাপমাত্রা বা প্রজাতি ব্যবহার করতে পারে। দ্বিতীয় ফ্যাক্টরটি ইন্টারঅ্যাকশন প্লটে রেখা দ্বারা উপস্থাপিত হয়।

প্রতিক্রিয়ার (শরীরের তাপমাত্রা) ওপর তাদের প্রভাবে দুটি ফ্যাক্টরের (বায়ুর তাপমাত্রা এবং প্রজাতি) মধ্যে একটি ইন্টারঅ্যাকশন রয়েছে, কারণ বায়ুর তাপমাত্রার প্রভাব প্রজাতির ওপর নির্ভর করে। প্লটে ইন্টারঅ্যাকশনটি নির্দেশিত হয়েছে কারণ রেখাগুলো সমান্তরাল নয়।

উদাহরণ: স্ট্রোকের তীব্রতা এবং চিকিৎসার প্রভাব পুনরুদ্ধারের ওপর

দ্বিতীয় উদাহরণ হিসেবে, স্ট্রোকের তীব্রতা এবং রোগীর বেঁচে থাকার ওপর ওষুধের কার্যকারিতার মধ্যে ইন্টারঅ্যাকশন নিয়ে একটি ক্লিনিকাল ট্রায়াল বিবেচনা করুন। ডেটা নিচের সারণীতে দেখানো হয়েছে।

ইন্টারঅ্যাকশন প্লটে, মৃদু এবং মাঝারি স্ট্রোক গ্রুপের রেখাগুলো সমান্তরাল, যা নির্দেশ করে যে ওষুধটি উভয় গ্রুপেই একই প্রভাব ফেলে, তাই কোনো ইন্টারঅ্যাকশন নেই। গুরুতর স্ট্রোক গ্রুপের রেখাটি অন্য রেখাগুলোর সাথে সমান্তরাল নয়, যা নির্দেশ করে যে স্ট্রোকের তীব্রতা এবং বেঁচে থাকার ওপর ওষুধের প্রভাবের মধ্যে একটি ইন্টারঅ্যাকশন রয়েছে। গুরুতর স্ট্রোক গ্রুপের রেখাটি সমতল, যা নির্দেশ করে যে, এই রোগীদের মধ্যে, ওষুধ এবং প্লাসিবো চিকিৎসার মধ্যে বেঁচে থাকার কোনো পার্থক্য নেই। বিপরীতে, মৃদু এবং মাঝারি স্ট্রোক গ্রুপের রেখাগুলো ডানদিকে নিচের দিকে ঢালু, যা নির্দেশ করে যে, এই রোগীদের মধ্যে, প্লাসিবো গ্রুপের বেঁচে থাকার হার ওষুধ-চিকিৎসাকৃত গ্রুপের চেয়ে কম।

ইন্টারঅ্যাকশনের জন্য হাইপোথিসিস পরীক্ষা

তাৎপর্যপূর্ণ ইন্টারঅ্যাকশন পরীক্ষা করার জন্য অ্যানালাইসিস অফ ভ্যারিয়েন্স এবং রিগ্রেশন বিশ্লেষণ ব্যবহার করা হয়।

উদাহরণ: কুকি বেকিংয়ে তাপমাত্রা এবং সময়ের ইন্টারঅ্যাকশন

ভালো কুকির ফলন কি ওভেনের তাপমাত্রা এবং সময় দ্বারা প্রভাবিত হয়? সারণীটি ৮ ব্যাচ কুকির ডেটা দেখায়।

ডেটা দেখায় যে ভালো কুকির ফলন সবচেয়ে ভালো হয় যখন (i) তাপমাত্রা বেশি এবং ওভেনে সময় কম থাকে, অথবা (ii) তাপমাত্রা কম এবং ওভেনে সময় বেশি থাকে। যদি কুকিগুলো উচ্চ তাপমাত্রায় দীর্ঘ সময় ওভেনে রাখা হয়, তবে কুকিগুলো পুড়ে যায় এবং ফলন কম হয়।

গ্রাফ এবং ডেটা থেকে, এটি স্পষ্ট যে রেখাগুলো সমান্তরাল নয়, যা নির্দেশ করে যে একটি ইন্টারঅ্যাকশন রয়েছে। এটি অ্যানালাইসিস অফ ভ্যারিয়েন্স (ANOVA) ব্যবহার করে পরীক্ষা করা যেতে পারে। প্রথম ANOVA মডেলে ইন্টারঅ্যাকশন টার্ম অন্তর্ভুক্ত থাকবে না। অর্থাৎ, প্রথম ANOVA মডেল সম্ভাব্য ইন্টারঅ্যাকশন উপেক্ষা করে। দ্বিতীয় ANOVA মডেলে ইন্টারঅ্যাকশন টার্ম অন্তর্ভুক্ত থাকবে। অর্থাৎ, দ্বিতীয় ANOVA মডেল স্পষ্টভাবে ইন্টারঅ্যাকশনের জন্য একটি হাইপোথিসিস পরীক্ষা করে।

ANOVA মডেল ১: কোনো ইন্টারঅ্যাকশন টার্ম নেই; ফলন ~ তাপমাত্রা + সময়

যে ANOVA মডেলে ইন্টারঅ্যাকশন উপেক্ষা করা হয়, তাতে তাপমাত্রা বা সময় কোনোটিরই ফলনের ওপর তাৎপর্যপূর্ণ প্রভাব নেই (p=0.91), যা স্পষ্টতই ভুল উপসংহার। আরও উপযুক্ত ANOVA মডেলের সম্ভাব্য ইন্টারঅ্যাকশন পরীক্ষা করা উচিত।

ANOVA মডেল ২: ইন্টারঅ্যাকশন টার্ম অন্তর্ভুক্ত; ফলন ~ তাপমাত্রা * সময়

তাপমাত্রা:সময় ইন্টারঅ্যাকশন টার্মটি তাৎপর্যপূর্ণ (p=0.000180)। ইন্টারঅ্যাকশন পরীক্ষা এবং ইন্টারঅ্যাকশন প্লটের ওপর ভিত্তি করে, মনে হয় যে ফলনের ওপর সময়ের প্রভাব তাপমাত্রার ওপর নির্ভর করে এবং বিপরীতটিও সত্য।

উদাহরণ

বাস্তব জীবনে মিথস্ক্রিয়ার (interaction) কিছু উদাহরণ নিচে দেওয়া হলো:

কফিতে চিনি মেশানো এবং কফি নাড়ানোর মধ্যে মিথস্ক্রিয়া। এই দুটি চলকের কোনোটিই এককভাবে মিষ্টির ওপর খুব একটা প্রভাব ফেলে না, কিন্তু দুটির সংমিশ্রণ তা ঘটায়।
ইস্পাত-এ কার্বন যোগ করা এবং কুয়েনচিং (quenching)-এর মধ্যে মিথস্ক্রিয়া। এককভাবে এগুলোর কোনোটিই শক্তির ওপর খুব একটা প্রভাব ফেলে না, কিন্তু দুটির সংমিশ্রণ নাটকীয় প্রভাব ফেলে।
ধূমপান এবং অ্যাসবেস্টস তন্তু শ্বাস গ্রহণের মধ্যে মিথস্ক্রিয়া: উভয়ই ফুসফুসের কার্সিনোমার ঝুঁকি বাড়ায়, কিন্তু অ্যাসবেস্টসের সংস্পর্শ ধূমপায়ী এবং অধূমপায়ী উভয়ের ক্ষেত্রেই ক্যান্সারের ঝুঁকিকে গুণিতক হারে বাড়িয়ে দেয়। এখানে, অ্যাসবেস্টস শ্বাস গ্রহণ এবং ধূমপানের যৌথ প্রভাব উভয় প্রভাবের যোগফলের চেয়ে বেশি।^[16]
টাইপ ২ ডায়াবেটিস-এর জন্য জেনেটিক ঝুঁকির কারণ এবং খাদ্যাভ্যাস (বিশেষত, একটি "পশ্চিমা" খাদ্যাভ্যাস)-এর মধ্যে মিথস্ক্রিয়া। দেখা গেছে যে, উচ্চ "জেনেটিক ঝুঁকি স্কোর" সম্পন্ন ব্যক্তিদের ক্ষেত্রে পশ্চিমা খাদ্যাভ্যাস ডায়াবেটিসের ঝুঁকি বাড়ায়, কিন্তু অন্যদের ক্ষেত্রে তা ঘটায় না।^[17]
শিক্ষা এবং রাজনৈতিক মতাদর্শের মধ্যে মিথস্ক্রিয়া, যা জলবায়ু পরিবর্তন সম্পর্কে সাধারণ মানুষের ধারণাকে প্রভাবিত করে। উদাহরণস্বরূপ, মার্কিন জরিপগুলোতে প্রায়শই দেখা যায় যে, মাঝারি বা উদারপন্থী জরিপ উত্তরদাতাদের মধ্যে শিক্ষার সাথে নৃতাত্ত্বিক জলবায়ু পরিবর্তন-এর বাস্তবতা গ্রহণের হার বৃদ্ধি পায়, কিন্তু সবচেয়ে রক্ষণশীলদের ক্ষেত্রে শিক্ষার সাথে তা হ্রাস পায়।^[18]^[19] অনুরূপ মিথস্ক্রিয়াগুলো কিছু অ-জলবায়ু বিজ্ঞান বা পরিবেশগত ধারণাকেও প্রভাবিত করতে দেখা গেছে,^[20] এবং শিক্ষার পরিবর্তে বিজ্ঞান সাক্ষরতা বা অন্যান্য জ্ঞান সূচকগুলোর ক্ষেত্রেও একইভাবে কাজ করে।^[21]^[22]

আরও দেখুন

ভেদাঙ্ক বিশ্লেষণ (Analysis of variance)
ফ্যাক্টোরিয়াল পরীক্ষা (Factorial experiment)
সাধারণীকৃত র‍্যান্ডমাইজড ব্লক ডিজাইন (Generalized randomized block design)
ইন্টারসেকশনালিটি (Intersectionality)
রৈখিক মডেল (Linear model)
প্রধান প্রভাব (Main effect)
টুকির সংযোজনযোগ্যতা পরীক্ষা (Tukey's test of additivity)

তথ্যসূত্র

↑ ^1.0 ^1.1 Dodge, Y.. (2003). The Oxford Dictionary of Statistical Terms. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920613-1.
↑ Cox, D.R.. (1984). "Interaction". International Statistical Review. 52 (1) 1–25. doi:10.2307/1403235.
↑ (2021). An introduction to statistical learning: with applications in R. 103. Springer. ISBN 978-1-0716-1418-1.
↑ Peto, D. P.. (1982). "Treatment of Cancer". Chapman and Hall. ISBN 0-412-21850-X.
↑ Kempthorne, Oscar. (1979). "The Design and Analysis of Experiments". Robert E. Krieger. ISBN 978-0-88275-105-4.
↑ ^6.0 ^6.1 Cox, David R.. (1958). "Planning of experiments". Wiley. ISBN 0-471-57429-5.
↑ Hinkelmann, Klaus and Kempthorne, Oscar. (2008). "Design and Analysis of Experiments, Volume I: Introduction to Experimental Design". Wiley. ISBN 978-0-471-72756-9.
↑ Hinkelmann, Klaus and Kempthorne, Oscar. (2008). "Design and Analysis of Experiments, Volume I: Introduction to Experimental Design". Wiley. ISBN 978-0-471-72756-9.
↑ Bailey, R. A.. (2008). Design of Comparative Experiments. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-68357-9. Pre-publication chapters are available on-line.
↑ Overton, R. C.. (2001). "Moderated multiple regression for interactions involving categorical variables: a statistical control for heterogeneous variance across two groups". Psychol Methods. 6 (3) 218–33. doi:10.1037/1082-989X.6.3.218.
↑ Design of Experiments - Taguchi Experiments. www.qualitytrainingportal.com.
↑ George E. P. Box. (1990). Do interactions matter?. Quality Engineering. 2 365–369. doi:10.1080/08982119008962728.
↑ Hamilton, L.C. 1992. Regression with Graphics: A Second Course in Applied Statistics. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole. 978-0534159009
↑ (2016). "Mean centering helps alleviate "micro" but not "macro" multicollinearity". Behavior Research Methods. 48 (4) 1308–1317. doi:10.3758/s13428-015-0624-x.
↑ (2015). "A four-party view of U.S. environmental concern". Environmental Politics. 24 (2) 212–227. doi:10.1080/09644016.2014.976485.
↑ Lee, P. N.. (2001). "Relation between exposure to asbestos and smoking jointly and the risk of lung cancer". Occupational and Environmental Medicine. 58 (3) 145–53. doi:10.1136/oem.58.3.145.
↑ Lu, Q.. (2009). "Genetic predisposition, Western dietary pattern, and the risk of type 2 diabetes in men". Am J Clin Nutr. 89 (5) 1453–1458. doi:10.3945/ajcn.2008.27249.
↑ (2011). Education, politics and opinions about climate change: Evidence for interaction effects. Climatic Change. 104 (2) 231–242. doi:10.1007/s10584-010-9957-8.
↑ McCright, A. M.. (2011). "Political orientation moderates Americans' beliefs and concern about climate change". Climatic Change. 104 (2) 243–253. doi:10.1007/s10584-010-9946-y.
↑ (2015). "A four-party view of US environmental concern". Environmental Politics. 24 (2) 212–227. doi:10.1080/09644016.2014.976485.
↑ (2011). Cultural cognition of scientific consensus. Journal of Risk Research. 14 (2) 147–174. doi:10.1080/13669877.2010.511246.
↑ (2012). "Public knowledge and concern about polar-region warming". Polar Geography. 35 (2) 155–168. doi:10.1080/1088937X.2012.684155.

বহিঃসংযোগ

উৎস: ইংরেজি উইকিপিডিয়ার “Interaction (statistics)” নিবন্ধের অনুবাদ। মূল নিবন্ধ: https://en.wikipedia.org/wiki/Interaction_(statistics) এই অনুবাদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রস্তুত করা হয়েছে।

[Dodge-1] 1.0 ^1.1 Dodge, Y.. (2003). The Oxford Dictionary of Statistical Terms. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920613-1.

[2] Cox, D.R.. (1984). "Interaction". International Statistical Review. 52 (1) 1–25. doi:10.2307/1403235.

[3] (2021). An introduction to statistical learning: with applications in R. 103. Springer. ISBN 978-1-0716-1418-1.

[4] Peto, D. P.. (1982). "Treatment of Cancer". Chapman and Hall. ISBN 0-412-21850-X.

[Kempthorne_(1979)-5] Kempthorne, Oscar. (1979). "The Design and Analysis of Experiments". Robert E. Krieger. ISBN 978-0-88275-105-4.

[Cox1958_2-6] 6.0 ^6.1 Cox, David R.. (1958). "Planning of experiments". Wiley. ISBN 0-471-57429-5.

[7] Hinkelmann, Klaus and Kempthorne, Oscar. (2008). "Design and Analysis of Experiments, Volume I: Introduction to Experimental Design". Wiley. ISBN 978-0-471-72756-9.

[8] Hinkelmann, Klaus and Kempthorne, Oscar. (2008). "Design and Analysis of Experiments, Volume I: Introduction to Experimental Design". Wiley. ISBN 978-0-471-72756-9.

[Bailey_on_eelworms-9] Bailey, R. A.. (2008). Design of Comparative Experiments. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-68357-9. Pre-publication chapters are available on-line.

[Overton2001-10] Overton, R. C.. (2001). "Moderated multiple regression for interactions involving categorical variables: a statistical control for heterogeneous variance across two groups". Psychol Methods. 6 (3) 218–33. doi:10.1037/1082-989X.6.3.218.

[11] Design of Experiments - Taguchi Experiments. www.qualitytrainingportal.com.

[12] George E. P. Box. (1990). Do interactions matter?. Quality Engineering. 2 365–369. doi:10.1080/08982119008962728.

[13] Hamilton, L.C. 1992. Regression with Graphics: A Second Course in Applied Statistics. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole. 978-0534159009

[14] (2016). "Mean centering helps alleviate "micro" but not "macro" multicollinearity". Behavior Research Methods. 48 (4) 1308–1317. doi:10.3758/s13428-015-0624-x.

[15] (2015). "A four-party view of U.S. environmental concern". Environmental Politics. 24 (2) 212–227. doi:10.1080/09644016.2014.976485.

[16] Lee, P. N.. (2001). "Relation between exposure to asbestos and smoking jointly and the risk of lung cancer". Occupational and Environmental Medicine. 58 (3) 145–53. doi:10.1136/oem.58.3.145.

[17] Lu, Q.. (2009). "Genetic predisposition, Western dietary pattern, and the risk of type 2 diabetes in men". Am J Clin Nutr. 89 (5) 1453–1458. doi:10.3945/ajcn.2008.27249.

[18] (2011). Education, politics and opinions about climate change: Evidence for interaction effects. Climatic Change. 104 (2) 231–242. doi:10.1007/s10584-010-9957-8.

[19] McCright, A. M.. (2011). "Political orientation moderates Americans' beliefs and concern about climate change". Climatic Change. 104 (2) 243–253. doi:10.1007/s10584-010-9946-y.

[20] (2015). "A four-party view of US environmental concern". Environmental Politics. 24 (2) 212–227. doi:10.1080/09644016.2014.976485.

[21] (2011). Cultural cognition of scientific consensus. Journal of Risk Research. 14 (2) 147–174. doi:10.1080/13669877.2010.511246.

[22] (2012). "Public knowledge and concern about polar-region warming". Polar Geography. 35 (2) 155–168. doi:10.1080/1088937X.2012.684155.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

Anonymous

Search

ইন্টারঅ্যাকশন (পরিসংখ্যান)

Namespaces

More

Page actions

Contents

ভূমিকা